यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल ग्यारह आम त्रि-आयामी ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है: गोला, घन, बेलन, शंकु, शंक्वाकार छिन्नक, वर्गाकार पिरामिड, आयताकार प्रिज़्म (घनाभ), त्रिभुजाकार प्रिज़्म, अर्धगोला, कैप्सूल और गोलीय टोपी (स्फेरिकल कैप)। हर आकृति के लिए यह कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बताता है, और जहाँ अलग से परिभाषित हो वहाँ पार्श्व (बगल का) पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार (तल का) पृष्ठीय क्षेत्रफल भी देता है। सभी इनपुट एक ही चुनी हुई लंबाई इकाई में होते हैं और परिणाम उसी इकाई के वर्ग में मिलते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से कोई आकृति चुनें, उस आकृति के लिए ज़रूरी माप दर्ज करें, एक लंबाई इकाई चुनें (km, m, cm, mm, mi, yd, ft, in), और तय करें कि कितने सार्थक अंकों (significant figures) तक पूर्णांकन करना है (या पूरी परिशुद्धता के लिए "auto" चुनें)। चूँकि किसी आकृति की हर लंबाई एक ही इकाई में होती है, क्षेत्रफल सीधे उसी इकाई के वर्ग में आता है — किसी रूपांतरण की ज़रूरत नहीं।
सूत्र
पृष्ठीय क्षेत्रफल एक आधार और उसके चारों ओर के पार्श्व फलकों से बनता है, इसलिए सामान्यतः
$$S_{tot} = S_{lat} + S_{bot}$$वक्र ठोस आकृतियों में पार्श्व भाग में \(\pi\) का उपयोग होता है। उदाहरण के लिए त्रिज्या \(r\) और ऊँचाई \(h\) वाले शंकु की तिरछी लंबाई \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\) होती है, पार्श्व क्षेत्रफल \(\pi r l\) और आधार \(\pi r^2\)। गोले का केवल एक बंद पृष्ठ होता है, \(4\pi r^2\), जिसका कोई अलग आधार नहीं होता। त्रिभुजाकार प्रिज़्म अपने दोनों त्रिभुजाकार सिरों के लिए हीरोन के सूत्र (Heron's formula) का उपयोग करता है।
हल किया गया उदाहरण
एक वर्गाकार पिरामिड जिसकी आधार भुजा \(a = 5\ \text{cm}\) और ऊँचाई \(h = 8\ \text{cm}\) है। फलक की तिरछी ऊँचाई
$$l = \sqrt{8^2 + 2.5^2} = \sqrt{70.25} = 8.38153$$आधार \(S_{bot} = 25\ \text{cm}^2\)। पार्श्व
$$S_{lat} = 2 \cdot 5 \cdot 8.38153 = 83.8153\ \text{cm}^2$$कुल
$$S_{tot} = 25 + 83.8153 = 108.815\ \text{cm}^2$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है? यह केवल बगल वाले फलकों का क्षेत्रफल है, जिसमें ऊपरी और निचले आधार शामिल नहीं होते।
गोले में आधार क्षेत्रफल क्यों नहीं दिखता? गोला एक अकेला बंद पृष्ठ है जिसका कोई समतल आधार नहीं होता, इसलिए केवल कुल क्षेत्रफल ही सार्थक है। यही बात वक्र कैप्सूल पर भी लागू होती है।
अगर मेरी त्रिभुज की भुजाएँ अमान्य हों तो? त्रिभुजाकार प्रिज़्म के आधार की तीनों भुजाओं को त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का पालन करना चाहिए (हर भुजा बाकी दो के योग से कम हो); अन्यथा कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बनता और कैलकुलेटर त्रुटि दिखाता है।
