त्रिकोणीय प्रिज़्म क्या होता है?
त्रिकोणीय प्रिज़्म एक ठोस आकृति है जिसमें दो समानांतर और सर्वांगसम त्रिकोणीय फलक (ऊपरी और निचला) होते हैं, जो तीन आयताकार पार्श्व फलकों से जुड़े रहते हैं। त्रिभुज को उसकी भुजाओं \(a\), \(b\) और \(c\) से परिभाषित किया जाता है, और इसी त्रिभुज को \(h\) दूरी तक — यानी प्रिज़्म की ऊँचाई (जिसे लंबाई या गहराई भी कहते हैं) — बढ़ाने पर प्रिज़्म बनता है। यह कैलकुलेटर आयतन और विभिन्न पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करता है, और जब आपको आयतन या पार्श्व क्षेत्रफल पता हो तो प्रिज़्म की ऊँचाई भी निकाल सकता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से कोई गणना मोड चुनें और फिर उसमें माँगे गए मान भरें। डिफ़ॉल्ट मोड त्रिभुज की तीनों भुजाओं और प्रिज़्म की ऊँचाई से आयतन निकालता है। अन्य मोड कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (पार्श्व, ऊपरी और निचले क्षेत्रफल के विवरण सहित), पार्श्व क्षेत्रफल, ऊपरी या निचले त्रिभुज का क्षेत्रफल देते हैं, या प्रिज़्म की ऊँचाई हल करते हैं। लंबाई की इकाई केवल लेबल लगाने के लिए चुनें (कोई रूपांतरण नहीं होता, इसलिए सभी मान एक ही इकाई में होने चाहिए), और उत्तर को कितने सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना है यह तय करें।
सूत्रों की व्याख्या
त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से निकलता है। पहले अर्ध-परिमाप \(s = \frac{a+b+c}{2}\) ज्ञात करें, फिर क्षेत्रफल $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ ऊपरी और निचला दोनों फलक इसी क्षेत्रफल के बराबर होते हैं। आयतन बस इसी क्षेत्रफल को प्रिज़्म की ऊँचाई से गुणा करने पर मिलता है: $$V = A \cdot h$$ प्रत्येक आयताकार पार्श्व फलक का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई गुणा \(h\) के बराबर होता है, इसलिए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \(A_l = h(a + b + c)\) होता है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों त्रिकोणीय सिरे जोड़ दिए जाते हैं: $$SA = h(a + b + c) + 2A$$ भुजाओं को त्रिभुज असमानता का पालन करना ज़रूरी है, अन्यथा कोई वैध त्रिभुज नहीं बनेगा।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\) और \(h = 10\)। अर्ध-परिमाप \(s = \frac{12}{2} = 6\) है, इसलिए $$A = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ आयतन \(V = 6 \cdot 10 = 60\) घन इकाई होगा। पार्श्व क्षेत्रफल \(A_l = 10 \cdot (3 + 4 + 5) = 120\) वर्ग इकाई है, और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(SA = 120 + 2 \cdot 6 = 132\) वर्ग इकाई होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या h त्रिभुज की ऊँचाई है? नहीं। यहाँ \(h\) प्रिज़्म की लंबाई/गहराई है (वह दूरी जितना त्रिभुज को बढ़ाया जाता है)। त्रिभुज की अपनी लंब-ऊँचाई केवल "b, H और h से आयतन" मोड में H के रूप में आती है।
मुझे अमान्य-त्रिभुज की त्रुटि क्यों मिलती है? तीनों भुजाओं को त्रिभुज असमानता का पालन करना होगा: किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। अन्यथा हीरोन के सूत्र का कोई वास्तविक परिणाम नहीं निकलता।
क्या यह इकाइयाँ बदलता है? नहीं। इकाई ड्रॉपडाउन केवल परिणाम पर लेबल लगाता है (लंबाई, क्षेत्रफल unit² में, आयतन unit³ में)। हर लंबाई एक ही इकाई में दर्ज करें।
