समबाहु त्रिकोणीय प्रिज़्म क्या होता है?
समबाहु त्रिकोणीय प्रिज़्म एक लंब प्रिज़्म होता है जिसका अनुप्रस्थ काट (क्रॉस-सेक्शन) एक समबाहु त्रिकोण होता है — यानी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, जिनकी लंबाई को हम a कहते हैं। इस त्रिकोण को एक लंबवत दूरी h (प्रिज़्म की ऊँचाई) तक खींचने पर प्रिज़्म बनता है। यह कैलकुलेटर भुजा की लंबाई और ऊँचाई से सीधे इसका आयतन और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकाल देता है। दोनों मान एक ही लंबाई इकाई में होने चाहिए; तब आयतन उसी इकाई के घन में और पृष्ठीय क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
समबाहु त्रिकोण की भुजा a और प्रिज़्म की ऊँचाई h दर्ज करें, फिर आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल पढ़ लें। किसी वास्तविक प्रिज़्म के अस्तित्व के लिए दोनों मान शून्य से बड़े होने चाहिए। यहाँ कोई इकाई चयन (यूनिट ड्रॉपडाउन) नहीं है: दोनों संख्याओं के लिए एक ही समान इकाई चुनें (उदाहरण के लिए सेंटीमीटर)।
सूत्रों की व्याख्या
भुजा a वाले समबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2}\) होता है। इसे प्रिज़्म की ऊँचाई से गुणा करने पर आयतन मिलता है:
$$V = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2} \cdot h$$
पृष्ठ में दो त्रिकोणीय सिरे और तीन एक जैसी आयताकार भुजाएँ होती हैं। दो त्रिकोण मिलकर \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}\) देते हैं, और तीन आयत मिलकर \(3 \cdot (a \cdot h)\) देते हैं:
$$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^{2} + 3ah$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए a = 1 और h = 2: $$V = \frac{1.7320508}{4} \times 1 \times 2 = 0.4330127 \times 2 \approx 0.8660254$$ घन इकाई। $$S = \frac{1.7320508}{2} \times 1 + 3 \times 1 \times 2 = 0.8660254 + 6 \approx 6.8660254$$ वर्ग इकाई।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या a और h की इकाई एक ही होनी चाहिए? हाँ। दोनों के लिए एक ही समान लंबाई इकाई का उपयोग करें; तब आयतन उसी इकाई के घन में और पृष्ठीय क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आएगा।
अगर मैं शून्य या ऋणात्मक मान दर्ज करूँ तो? किसी प्रिज़्म के लिए \(a > 0\) और \(h > 0\) आवश्यक है। शून्य या ऋणात्मक मान किसी वास्तविक ठोस को नहीं दर्शाते, इसलिए कैलकुलेटर शून्य लौटाता है।
क्या यह प्रिज़्म एक लंब प्रिज़्म है? हाँ। ऊँचाई को त्रिकोणीय आधार के लंबवत माना गया है, और त्रिकोण समबाहु है जिसकी सभी भुजाएँ a के बराबर हैं।
