माध्य के लिए नमूना आकार कैलकुलेटर

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परिणाम

आवश्यक नमूना आकार

217

प्रतिभागी (ऊपर की ओर गोल किया गया)

इस्तेमाल किया गया Z-स्कोर	1.96
सटीक (बिना गोल किया) n	216.09

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल आपको बताता है कि किसी जनसंख्या के माध्य (औसत) का अनुमान मनचाही सटीकता के साथ लगाने के लिए आपको कितने अवलोकनों (यानी नमूना आकार, $n$) की ज़रूरत होगी। आप तीन बातें देते हैं — आप कितने आश्वस्त रहना चाहते हैं, जनसंख्या के मानक विचलन का अनुमान, और आप चाहते हैं कि आपका नमूना माध्य असली माध्य के कितना करीब हो (यानी त्रुटि सीमा)। कैलकुलेटर बदले में न्यूनतम नमूना आकार लौटाता है, जिसे ऊपर की ओर पूर्ण संख्या में गोल किया जाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

सबसे पहले अपना विश्वास स्तर चुनें (90%, 95% या 99%)। फिर जनसंख्या का मानक विचलन ($\sigma$) दर्ज करें — इसे अक्सर किसी पायलट अध्ययन, पहले हुए शोध या एक उचित अनुमान से लिया जाता है। इसके बाद त्रुटि सीमा ($E$) दर्ज करें, यानी आपके अनुमान और असली माध्य के बीच की वह अधिकतम दूरी जिसे आप स्वीकार करने को तैयार हैं — यह $\sigma$ की ही इकाई में होनी चाहिए। नतीजे में आपको वह संख्या मिलेगी कि आपको कितने प्रतिभागियों या मापों को इकट्ठा करना चाहिए।

सूत्र की व्याख्या

सूत्र है $$n = \left( \frac{z \cdot \sigma}{E} \right)^{2}$$ यहाँ $z$ आपके विश्वास स्तर के लिए मानक सामान्य बंटन (standard normal distribution) से लिया गया क्रांतिक मान (critical value) है, $\sigma$ जनसंख्या का मानक विचलन है, और $E$ त्रुटि सीमा है। चूँकि किसी व्यक्ति को आधे-अधूरे रूप में नमूने में नहीं लिया जा सकता, इसलिए $n$ को हमेशा ऊपर की ओर अगली पूर्ण संख्या में गोल किया जाता है। ध्यान दें कि त्रुटि सीमा को आधा करने से आवश्यक नमूना आकार चार गुना हो जाता है, क्योंकि हर (denominator) में $E$ का वर्ग होता है।

त्रुटि सीमा घटने और विश्वास बढ़ने पर नमूना आकार कैसे बढ़ता है, यह दर्शाता आरेख — त्रुटि सीमा घटने या विश्वास स्तर बढ़ने पर आवश्यक नमूना आकार तेज़ी से बढ़ता है।

केंद्रीय विश्वास अंतराल और त्रुटि सीमा दर्शाती छायांकित पुच्छों वाला सामान्य वितरण वक्र — यह सूत्र विश्वास स्तर ($z$), जनसंख्या प्रसार ($\sigma$) और त्रुटि सीमा ($E$) को आवश्यक नमूना आकार से जोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आपको 95% विश्वास चाहिए ($z = 1.96$), मानक विचलन $\sigma = 15$ है, और आप $E = 2$ की त्रुटि सीमा चाहते हैं। तब $$n = \left( \frac{1.96 \times 15}{2} \right)^{2} = \left( \frac{29.4}{2} \right)^{2} = 14.7^{2} = 216.09$$ जिसे ऊपर की ओर गोल करने पर 217 अवलोकन मिलते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर मुझे मानक विचलन पता ही न हो तो? किसी पायलट अध्ययन या मिलते-जुलते पुराने शोध से एक अनुमान का इस्तेमाल करें। अगर सिर्फ़ रेंज (परास) पता है, तो एक मोटा नियम है $\sigma \approx \text{रेंज} / 4$।

ऊपर की ओर ही क्यों गोल करते हैं? नीचे की ओर गोल करने से आपकी सटीकता ज़रूरत से थोड़ी कम रह जाएगी, इसलिए परंपरा यह है कि लक्षित त्रुटि सीमा की गारंटी के लिए हमेशा ऊपर की ओर ही गोल किया जाए।

क्या इसके लिए जनसंख्या का आकार चाहिए? नहीं। यह सूत्र एक बड़ी या अनंत जनसंख्या मानकर चलता है। छोटी, सीमित जनसंख्या के लिए आपको परिमित जनसंख्या सुधार (finite population correction) लगाना होगा, जिससे आवश्यक नमूना आकार घट जाता है।

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