Что такое упругое столкновение?
Упругим называют столкновение, при котором сохраняются и суммарный импульс, и суммарная кинетическая энергия системы. В одномерном случае два тела движутся вдоль одной прямой, сталкиваются и разлетаются с новыми скоростями, которые полностью определяются их массами и начальными скоростями. Этот калькулятор решает стандартные уравнения одномерного упругого удара и мгновенно выдаёт обе конечные скорости.
Как пользоваться калькулятором
Введите массу и начальную скорость каждого тела. Для движения в одну сторону (например, вправо) используйте положительное значение, а для движения в противоположную сторону — отрицательное. Калькулятор вернёт \(v_1'\) и \(v_2'\) — скорости тел сразу после удара. Отрицательный результат означает, что тело теперь движется влево.
Разбор формулы
В основе расчёта лежат два уравнения:
$$v_1' = \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2\,m_2\,u_2}{m_1 + m_2}$$$$v_2' = \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2\,m_1\,u_1}{m_1 + m_2}$$Их получают, совместно решая закон сохранения импульса (\(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'\)) и закон сохранения кинетической энергии. Обратите внимание на симметрию: если в одном уравнении поменять местами индексы 1 и 2, получится второе.
Пример расчёта
Пусть тело массой \(m_1 = 2\) кг, движущееся со скоростью \(u_1 = 5\) м/с, ударяет тело массой \(m_2 = 3\) кг, движущееся со скоростью \(u_2 = -2\) м/с. Тогда \(m_1 + m_2 = 5\).
$$v_1' = \frac{(2-3)\cdot 5 + 2\cdot 3\cdot(-2)}{5} = \frac{-5 - 12}{5} = -3{,}4 \ \text{м/с}$$$$v_2' = \frac{(3-2)\cdot(-2) + 2\cdot 2\cdot 5}{5} = \frac{-2 + 20}{5} = 3{,}6 \ \text{м/с}$$Первое тело меняет направление движения, а второе ускоряется вперёд.
Частые вопросы
А если массы равны? При равных массах тела просто обмениваются скоростями — это классический результат упругого столкновения.
Можно ли задать очень большую массу? Да. Очень тяжёлое тело почти не меняет свою скорость, а лёгкое отскакивает назад со скоростью, близкой к удвоенной скорости тяжёлого тела относительно него.
Подходит ли это для двумерных столкновений? Нет. Калькулятор рассчитан на движение вдоль одной прямой. Для двумерных столкновений нужно учитывать векторные компоненты и углы.
