Что такое калькулятор сокращения отношений?
Этот инструмент приводит любое отношение A : B к простейшему виду в целых числах. Каждый член может быть натуральным числом, целым числом, десятичной дробью, обыкновенной или смешанной дробью — причём два члена могут быть разного типа. Калькулятор переводит каждое значение в точную дробь, приводит обе части к целым числам и делит их на наибольший общий делитель (НОД).
Как пользоваться
Введите значения для A и B в любом из следующих форматов: натуральное число, например 5; отрицательное целое, например -12; десятичную дробь, например 2.5; обыкновенную дробь, например 3/4; или смешанное число, например 3 1/8 (целая часть, пробел, затем числитель/знаменатель). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть сокращённое отношение и подробное решение.
Формула
Каждый член представляется в виде дроби числитель/знаменатель. Обе дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю \(L = \operatorname{lcm}(d_A, d_B)\), где \(\operatorname{lcm}(x, y) = x \cdot y / \gcd(x, y)\). Умножение обеих частей отношения на одно и то же ненулевое число \(L\) не меняет само отношение, но избавляет от дробей, давая целые числа \(a : b\). В заключение оба числа делятся на \(g = \gcd(|a|, |b|)\), который вычисляется по алгоритму Евклида.
$$\begin{gathered} \text{A} : \text{B} \;=\; \frac{a}{g} : \frac{b}{g} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} L &= \operatorname{lcm}(d_A,\, d_B) \\ a &= \text{A} \cdot \tfrac{L}{d_A} \\ b &= \text{B} \cdot \tfrac{L}{d_B} \\ g &= \gcd(a,\, b) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Разбор примера
Пусть A = 5 и B = 3 1/8. Тогда A превращается в \(5/1\), а B — в \((3 \times 8 + 1)/8 = 25/8\). НОК чисел 1 и 8 равен 8, поэтому \(a = 5 \times 8 = 40\) и \(b = 25\). \(\gcd(40, 25) = 5\), отсюда $$40/5 : 25/5 = \mathbf{8 : 5}.$$
Частые вопросы
Можно ли смешивать десятичные и обыкновенные дроби? Да. A = 2.5 и B = 0.75 сокращаются до 10 : 3.
Поддерживаются ли отрицательные отношения? Да — знак сохраняется у каждого члена, поэтому -4 : 6 сокращается до -2 : 3.
А как быть с нулём? 0 : 6 сокращается до 0 : 1; отношение 0 : 0 сократить нельзя, оно так и остаётся 0 : 0.
