Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Üstel fonksiyon \(y = a\cdot b^{x}\) biçimindedir; burada a, x = 0 olduğunda fonksiyonun aldığı değerdir, b ise sabit çarpan, yani büyüme ya da küçülme katsayısıdır. Eğri üzerinde yer alan herhangi iki noktayı (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) bildiğinizde, bu iki noktadan geçen yalnızca tek bir üstel fonksiyon vardır. Bu araç sizin için b tabanını ve a katsayısını hesaplar.
Nasıl kullanılır?
İki noktanızın koordinatlarını girin. Her iki y değeri de aynı işaretli ve sıfırdan farklı olmalıdır (bu biçimdeki bir üstel fonksiyon hiçbir zaman sıfırı kesmez), ayrıca iki x değeri birbirinden farklı olmalıdır. Hesaplayıcı, tam denklemi y = a·bx olarak verir; ayrıca her adımdaki yüzdesel büyüme oranını da gösterir: \((b - 1) \times 100\%\).
Formülün açıklaması
İki nokta denklemini birbirine böldüğümüzde a sadeleşir: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). Tabanı yalnız bırakırsak $$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$$ elde edilir. Bu değeri \(y_1 = a\cdot b^{x_1}\) denkleminde yerine koyarsak $$a = \frac{y_1}{b^{x_1}}$$ sonucuna ulaşırız.
Çözümlü örnek
Eğrinin (0, 3) ve (2, 27) noktalarından geçtiğini düşünelim. Bu durumda $$b = \left( \frac{27}{3} \right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0{,}5} = 3$$ olur ve $$a = \frac{3}{3^{0}} = 3$$ bulunur. Fonksiyon \(y = 3\cdot 3^{x}\) şeklindedir ve her adımda %200 artış gösterir.
Sıkça sorulan sorular
y değerleri neden aynı işaretli olmalı? Çünkü \(b^{x}\) her zaman pozitiftir; bu nedenle \(a\cdot b^{x}\) ifadesi her x için a'nın işaretini korur. Dolayısıyla zıt işaretli iki nokta aynı eğri üzerinde yer alamaz.
b değeri 1'den küçükse ne olur? Bu durumda fonksiyon üstel küçülmeyi (azalmayı) ifade eder; x arttıkça değerler küçülür ve büyüme oranı negatif çıkar.
x değerleri negatif veya tam sayı olmayan değerler olabilir mi? Evet. \(x_1 \neq x_2\) koşulu sağlandığı sürece her gerçek x değeri kullanılabilir.
