À quoi sert ce calculateur
Une fonction exponentielle s'écrit sous la forme \(y = a\,b^{x}\), où a correspond à la valeur lorsque x = 0 et b au multiplicateur constant (facteur de croissance ou de décroissance). Pour deux points quelconques (x₁, y₁) et (x₂, y₂) situés sur la courbe, il existe une seule et unique fonction exponentielle qui les relie. Cet outil calcule pour vous la base b et le coefficient a.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées de vos deux points. Les deux valeurs de y doivent être de même signe et non nulles (une exponentielle de cette forme ne franchit jamais zéro), et les deux valeurs de x doivent être différentes. Le calculateur renvoie l'équation complète \(y = a\,b^{x}\) ainsi que le taux de croissance en pourcentage par étape, soit \((b - 1) \times 100\,\%\).
La formule expliquée
En divisant les équations des deux points, on élimine a : \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). La résolution donne ensuite la base $$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}.$$ En réinjectant ce résultat dans \(y_1 = a\,b^{x_1}\), on obtient $$a = \frac{y_1}{b^{\,x_1}}.$$
Exemple résolu
Supposons que la courbe passe par les points (0, 3) et (2, 27). On a alors $$b = \left( \frac{27}{3} \right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0{,}5} = 3,$$ puis $$a = \frac{3}{3^{0}} = 3.$$ La fonction est donc \(y = 3\,\cdot 3^{x}\), avec une augmentation de 200 % à chaque étape.
FAQ
Pourquoi les valeurs de y doivent-elles être de même signe ? Parce que \(b^{x}\) est toujours positif, \(a\,b^{x}\) conserve le signe de a pour chaque x : deux points de signes opposés ne peuvent donc pas appartenir à une même courbe.
Et si b est inférieur à 1 ? Dans ce cas, la fonction décrit une décroissance exponentielle : les valeurs diminuent à mesure que x augmente, et le taux de croissance devient négatif.
Les valeurs de x peuvent-elles être négatives ou non entières ? Oui. N'importe quelles valeurs réelles conviennent, du moment que \(x_1 \neq x_2\).
