Qué hace esta calculadora
Una función exponencial tiene la forma \(y = a\cdot b^{x}\), donde a es el valor cuando x = 0 y b es el multiplicador constante (el factor de crecimiento o de decaimiento). Si conoces dos puntos cualesquiera (x₁, y₁) y (x₂, y₂) situados sobre la curva, existe una única función exponencial que pasa por ambos. Esta herramienta calcula por ti la base b y el coeficiente a.
Cómo usarla
Introduce las coordenadas de tus dos puntos. Ambos valores de y deben tener el mismo signo y ser distintos de cero (una exponencial de esta forma nunca corta el cero), y los dos valores de x deben ser diferentes entre sí. La calculadora te devuelve la ecuación completa \(y = a\cdot b^{x}\) junto con la tasa de crecimiento porcentual por paso, \((b - 1) \times 100\,\%\).
La fórmula explicada
Al dividir las dos ecuaciones de los puntos se elimina la a: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). Despejando la base obtenemos
$$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$$Sustituyendo de nuevo en \(y_1 = a\cdot b^{x_1}\) llegamos a
$$a = \frac{y_1}{b^{x_1}}$$
Ejemplo resuelto
Imagina que la curva pasa por (0, 3) y (2, 27). Entonces
$$b = \left( \frac{27}{3} \right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0{,}5} = 3$$y
$$a = \frac{3}{3^{0}} = 3$$La función es \(y = 3\cdot 3^{x}\), con un aumento del 200 % en cada paso.
Preguntas frecuentes
¿Por qué los valores de y deben compartir el mismo signo? Porque \(b^{x}\) siempre es positivo, así que \(a\cdot b^{x}\) conserva el signo de a para cualquier x; por eso dos puntos con signos opuestos no pueden estar sobre la misma curva.
¿Y si b es menor que 1? En ese caso la función representa un decaimiento exponencial: los valores disminuyen a medida que x crece y la tasa de crecimiento es negativa.
¿Pueden los valores de x ser negativos o no enteros? Sí. Sirve cualquier valor real de x siempre que \(x_1 \neq x_2\).
