두 점을 지나는 지수함수 계산기

계산 입력

x₁ (첫 번째 점의 x)

y₁ (첫 번째 점의 y)

x₂ (두 번째 점의 x)

y₂ (두 번째 점의 y)

결과

지수함수

y = 3 · 3^x

입력한 두 점을 지나도록 구함

계수 a (초깃값)	3
밑 b (증가 인자)	3
단계별 증가율	200%

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

지수함수는 \(y = a\cdot b^{x}\) 형태로 표현됩니다. 여기서 a는 x = 0일 때의 값이고, b는 일정한 비율로 곱해지는 상수(증가 또는 감소 인자)입니다. 곡선 위에 놓인 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂)가 주어지면, 이 두 점을 지나는 지수함수는 단 하나로 결정됩니다. 이 계산기는 그 밑 b와 계수 a를 대신 계산해 줍니다.

사용 방법

두 점의 좌표를 입력하세요. 두 y값은 부호가 같아야 하며 0이 아니어야 합니다(이 형태의 지수함수는 절대 0을 지나지 않습니다). 또한 두 x값은 서로 달라야 합니다. 계산기는 완성된 식 \(y = a\cdot b^{x}\)와 함께, 단계별 증가율 \((b - 1) \times 100\%\)를 함께 보여 줍니다.

공식 풀이

두 점의 식을 나누면 a가 소거됩니다: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). 여기서 밑을 구하면 $$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$$이 됩니다. 이 값을 다시 \(y_1 = a\cdot b^{x_1}\)에 대입하면 $$a = \frac{y_1}{b^{x_1}}$$를 얻습니다.

광고

두 점을 지나도록 유일하게 맞춘 지수 곡선 \(y=ab^x\).

예제로 살펴보기

곡선이 (0, 3)과 (2, 27)을 지난다고 가정해 봅시다. 그러면 $$b = (27/3)^{1/(2-0)} = 9^{0.5} = 3$$이 되고, $$a = 3 / 3^{0} = 3$$이 됩니다. 따라서 함수는 \(y = 3\cdot 3^{x}\)이며, 매 단계마다 200%씩 증가합니다.

밑 b>1이면 증가, 0<b<1이면 감소.

자주 묻는 질문

왜 두 y값의 부호가 같아야 하나요? \(b^{x}\)는 항상 양수이기 때문에, \(a\cdot b^{x}\)는 모든 x에 대해 a의 부호를 그대로 유지합니다. 따라서 부호가 반대인 두 점은 하나의 곡선 위에 놓일 수 없습니다.

b가 1보다 작으면 어떻게 되나요? 이 경우 함수는 지수 감소가 됩니다. x가 커질수록 값이 줄어들고, 증가율은 음수가 됩니다.

x값이 음수나 정수가 아니어도 되나요? 네, 됩니다. \(x_1 \neq x_2\)이기만 하면 어떤 실수 x값이든 사용할 수 있습니다.