दो बिंदुओं से चरघातांकी फलन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x₁ (पहले बिंदु का x)

y₁ (पहले बिंदु का y)

x₂ (दूसरे बिंदु का x)

y₂ (दूसरे बिंदु का y)

परिणाम

चरघातांकी फलन

y = 3 · 3^x

आपके दोनों बिंदुओं से होकर निकाला गया

गुणांक a (प्रारंभिक मान)	3
आधार b (वृद्धि कारक)	3
प्रति-चरण वृद्धि दर	200%

यह कैलकुलेटर क्या करता है

चरघातांकी (एक्सपोनेंशियल) फलन का रूप होता है \(y = a\,b^{x}\), जहाँ a वह मान है जब x = 0 होता है, और b स्थिर गुणक है (वृद्धि या क्षय का कारक)। यदि वक्र पर कोई दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दिए हों, तो उनसे होकर ठीक एक ही चरघातांकी फलन गुज़रता है। यह टूल आपके लिए आधार b और गुणांक a की गणना कर देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने दोनों बिंदुओं के निर्देशांक (कोऑर्डिनेट्स) दर्ज करें। दोनों y-मान एक ही चिह्न (साइन) के और शून्येतर (नॉन-ज़ीरो) होने चाहिए — क्योंकि इस रूप का चरघातांकी फलन कभी शून्य को पार नहीं करता — और दोनों x-मान अलग-अलग होने चाहिए। कैलकुलेटर आपको पूरा समीकरण \(y = a\,b^{x}\) देता है, साथ ही प्रति-चरण प्रतिशत वृद्धि दर भी, यानी \((b - 1) \times 100\%\)।

सूत्र की व्याख्या

दोनों बिंदुओं के समीकरणों को आपस में भाग देने पर a समाप्त हो जाता है: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\)। इसे आधार के लिए हल करने पर मिलता है \(b = (y_2/y_1)^{1/(x_2 - x_1)}\)। इसे वापस \(y_1 = a\,b^{x_1}\) में रखने पर मिलता है \(a = y_1 / b^{x_1}\)।

$$y = a\,b^{x} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} b &= \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}} \\[0.4em] a &= \frac{y_1}{b^{\,x_1}} \end{aligned} \right.$$

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दो दिए गए बिंदुओं से होकर अद्वितीय रूप से फिट की गई घातांकीय वक्र y=ab^x।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए वक्र (0, 3) और (2, 27) से होकर गुज़रता है। तब \(b = (27/3)^{1/(2-0)} = 9^{0.5} = 3\), और \(a = 3 / 3^{0} = 3\)। इस प्रकार फलन है $$y = 3 \cdot 3^{x},$$ जिसमें हर चरण पर 200% की वृद्धि होती है।

आधार b>1 वृद्धि देता है; 0<b<1 क्षय देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

दोनों y-मानों का चिह्न एक ही क्यों होना चाहिए? क्योंकि \(b^{x}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए \(a\,b^{x}\) हर x के लिए a का चिह्न बनाए रखता है। यही कारण है कि विपरीत चिह्नों वाले दो बिंदु एक ही वक्र पर नहीं हो सकते।

यदि b, 1 से कम हो तो क्या होगा? तब फलन चरघातांकी क्षय (एक्सपोनेंशियल डिके) को दर्शाता है — x बढ़ने के साथ मान घटते जाते हैं, और वृद्धि दर ऋणात्मक होती है।

क्या x-मान ऋणात्मक या भिन्नात्मक (नॉन-इंटीजर) हो सकते हैं? हाँ। कोई भी वास्तविक x-मान चलते हैं, बशर्ते \(x_1 \neq x_2\) हो।