यह कैलकुलेटर क्या करता है
चरघातांकी (एक्सपोनेंशियल) फलन का रूप होता है \(y = a\,b^{x}\), जहाँ a वह मान है जब x = 0 होता है, और b स्थिर गुणक है (वृद्धि या क्षय का कारक)। यदि वक्र पर कोई दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दिए हों, तो उनसे होकर ठीक एक ही चरघातांकी फलन गुज़रता है। यह टूल आपके लिए आधार b और गुणांक a की गणना कर देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने दोनों बिंदुओं के निर्देशांक (कोऑर्डिनेट्स) दर्ज करें। दोनों y-मान एक ही चिह्न (साइन) के और शून्येतर (नॉन-ज़ीरो) होने चाहिए — क्योंकि इस रूप का चरघातांकी फलन कभी शून्य को पार नहीं करता — और दोनों x-मान अलग-अलग होने चाहिए। कैलकुलेटर आपको पूरा समीकरण \(y = a\,b^{x}\) देता है, साथ ही प्रति-चरण प्रतिशत वृद्धि दर भी, यानी \((b - 1) \times 100\%\)।
सूत्र की व्याख्या
दोनों बिंदुओं के समीकरणों को आपस में भाग देने पर a समाप्त हो जाता है: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\)। इसे आधार के लिए हल करने पर मिलता है \(b = (y_2/y_1)^{1/(x_2 - x_1)}\)। इसे वापस \(y_1 = a\,b^{x_1}\) में रखने पर मिलता है \(a = y_1 / b^{x_1}\)।
$$y = a\,b^{x} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} b &= \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}} \\[0.4em] a &= \frac{y_1}{b^{\,x_1}} \end{aligned} \right.$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए वक्र (0, 3) और (2, 27) से होकर गुज़रता है। तब \(b = (27/3)^{1/(2-0)} = 9^{0.5} = 3\), और \(a = 3 / 3^{0} = 3\)। इस प्रकार फलन है $$y = 3 \cdot 3^{x},$$ जिसमें हर चरण पर 200% की वृद्धि होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
दोनों y-मानों का चिह्न एक ही क्यों होना चाहिए? क्योंकि \(b^{x}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए \(a\,b^{x}\) हर x के लिए a का चिह्न बनाए रखता है। यही कारण है कि विपरीत चिह्नों वाले दो बिंदु एक ही वक्र पर नहीं हो सकते।
यदि b, 1 से कम हो तो क्या होगा? तब फलन चरघातांकी क्षय (एक्सपोनेंशियल डिके) को दर्शाता है — x बढ़ने के साथ मान घटते जाते हैं, और वृद्धि दर ऋणात्मक होती है।
क्या x-मान ऋणात्मक या भिन्नात्मक (नॉन-इंटीजर) हो सकते हैं? हाँ। कोई भी वास्तविक x-मान चलते हैं, बशर्ते \(x_1 \neq x_2\) हो।
