Что делает этот калькулятор
Экспоненциальная функция имеет вид \(y = a\,b^{x}\), где a — это значение при x = 0, а b — постоянный множитель (коэффициент роста или убывания). Если известны любые две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), лежащие на кривой, то через них проходит ровно одна такая экспонента. Этот инструмент сам вычислит основание b и коэффициент a.
Как пользоваться
Введите координаты двух своих точек. Оба значения y должны быть одного знака и не равны нулю (экспонента такого вида никогда не пересекает ось x), а значения x должны различаться. Калькулятор вернёт полное уравнение \(y = a\,b^{x}\), а также процентный темп роста на каждом шаге: \((b - 1) \times 100\,\%\).
Разбор формулы
Если разделить одно уравнение точки на другое, коэффициент a сокращается: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). Выразив отсюда основание, получаем $$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$$ Подставив результат обратно в \(y_1 = a\,b^{x_1}\), находим $$a = \frac{y_1}{b^{\,x_1}}$$
Пример с решением
Пусть кривая проходит через точки (0, 3) и (2, 27). Тогда $$b = \left( \frac{27}{3} \right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0{,}5} = 3$$ а \(a = 3 / 3^{0} = 3\). Итоговая функция — \(y = 3\cdot 3^{x}\), с увеличением на 200 % на каждом шаге.
Частые вопросы
Почему значения y должны быть одного знака? Потому что \(b^{x}\) всегда положительно, а значит \(a\,b^{x}\) при любом x сохраняет знак a. Поэтому две точки с разными знаками не могут лежать на одной такой кривой.
Что если b меньше 1? Тогда это экспоненциальное убывание — значения уменьшаются по мере роста x, а темп роста становится отрицательным.
Можно ли использовать отрицательные или дробные значения x? Да. Подойдут любые вещественные значения x, лишь бы \(x_1 \neq x_2\).
