這個計算機的功用
指數函數的形式為 \(y = a\cdot b^{x}\)，其中 a 是 \(x = 0\) 時的函數值，b 則是固定的倍率（也就是成長或衰退因子）。只要給定曲線上任意兩個點 \((x_1, y_1)\) 與 \((x_2, y_2)\)，通過這兩點的指數函數有且只有一條。這個工具會自動幫你算出底數 b 與係數 a。
使用方式
輸入兩個點的座標即可。請注意兩個 y 值必須同號且不為零（這種形式的指數函數永遠不會通過零），而且兩個 x 值不能相同。計算機會回傳完整的方程式 \(y = a\cdot b^{x}\)，並附上每一步的百分比成長率，即 \((b - 1) \times 100\%\)。
公式說明
將兩個點的方程式相除，就能消去 a：\(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\)。求解底數可得 \(b = \left(\dfrac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}\)。再代回 \(y_1 = a\cdot b^{x_1}\)，即可得到 \(a = \dfrac{y_1}{b^{x_1}}\)。
$$y = a\,b^{x} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} b &= \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}} \\[0.4em] a &= \frac{y_1}{b^{\,x_1}} \end{aligned} \right.$$
實例演算
假設曲線通過 \((0, 3)\) 與 \((2, 27)\) 兩點。那麼 $$b = \left(\frac{27}{3}\right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0.5} = 3,$$ 而 \(a = 3 / 3^{0} = 3\)。因此函數為 \(y = 3\cdot 3^{x}\)，每一步成長 200%。
常見問題
為什麼兩個 y 值必須同號？因為 \(b^{x}\) 永遠是正數，所以 \(a\cdot b^{x}\) 對任何 x 都會維持 a 的正負號；兩個正負號相反的點，自然無法落在同一條曲線上。
如果 b 小於 1 會怎樣？那麼這個函數就屬於指數衰退——隨著 x 增加，函數值會逐漸縮小，成長率也會是負值。
x 值可以是負數或非整數嗎？可以。只要 \(x_1 \neq x_2\)，任何實數的 x 值都行得通。
