Công cụ này làm gì?
Hàm số mũ có dạng \(y = a\cdot b^{x}\), trong đó a là giá trị khi x = 0 và b là hệ số nhân không đổi (hệ số tăng trưởng hoặc suy giảm). Với hai điểm bất kỳ (x₁, y₁) và (x₂, y₂) nằm trên đường cong, luôn tồn tại duy nhất một hàm số mũ đi qua chúng. Công cụ này sẽ tính giúp bạn cơ số b và hệ số a.
Cách sử dụng
Hãy nhập tọa độ của hai điểm. Cả hai giá trị y phải cùng dấu và khác 0 (hàm mũ dạng này không bao giờ cắt trục hoành), đồng thời hai giá trị x phải khác nhau. Công cụ sẽ trả về phương trình đầy đủ \(y = a\cdot b^{x}\) cùng với tỷ lệ tăng trưởng phần trăm trên mỗi bước, tính bằng \((b - 1) \times 100\%\).
Giải thích công thức
Lấy hai phương trình điểm chia cho nhau để khử a: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). Giải ra cơ số ta được $$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$$ Thay ngược trở lại vào \(y_1 = a\cdot b^{x_1}\) ta có $$a = \frac{y_1}{b^{\,x_1}}$$
Ví dụ minh họa
Giả sử đường cong đi qua hai điểm (0, 3) và (2, 27). Khi đó $$b = \left( \frac{27}{3} \right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0{,}5} = 3, \quad a = \frac{3}{3^{0}} = 3$$ Vậy hàm số là \(y = 3\cdot 3^{x}\), tức là tăng 200% sau mỗi bước.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao các giá trị y phải cùng dấu? Vì \(b^{x}\) luôn dương, nên \(a\cdot b^{x}\) luôn giữ nguyên dấu của a với mọi x. Do đó hai điểm trái dấu không thể cùng nằm trên một đường cong.
Nếu b nhỏ hơn 1 thì sao? Khi đó hàm số là suy giảm theo cấp số mũ — giá trị giảm dần khi x tăng, và tỷ lệ tăng trưởng mang dấu âm.
Giá trị x có thể âm hoặc không nguyên không? Hoàn toàn được. Mọi giá trị x thực đều dùng được, miễn là \(x_1 \neq x_2\).
