ماذا تفعل هذه الحاسبة
تأخذ الدالة الأسية الصيغة \(y = a\cdot b^{x}\)، حيث يمثّل a القيمة عند x = 0، ويمثّل b المُضاعِف الثابت (معامل النمو أو الاضمحلال). إذا كان لديك أي نقطتين (x₁, y₁) و(x₂, y₂) تقعان على المنحنى، فهناك دالة أسية واحدة فقط تمرّ بهما. وتقوم هذه الأداة بحساب الأساس b والمعامل a نيابةً عنك.
طريقة الاستخدام
أدخل إحداثيات النقطتين لديك. يجب أن تكون قيمتا y لهما الإشارة نفسها وألّا تساويا صفرًا (فالدالة الأسية بهذه الصيغة لا تقطع الصفر أبدًا)، كما يجب أن تختلف قيمتا x. تُرجِع الحاسبة المعادلة الكاملة \(y = a\cdot b^{x}\) إضافةً إلى نسبة النمو المئوية لكل خطوة، وهي \((b - 1) \times 100\%\).
شرح القانون
بقسمة معادلتي النقطتين على بعضهما يُحذَف a: \(y_2/y_1 = b^{(x_2 - x_1)}\). وبحلّ المعادلة لإيجاد الأساس نحصل على $$b = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$$ وبالتعويض مجددًا في \(y_1 = a\cdot b^{x_1}\) نحصل على $$a = \frac{y_1}{b^{\,x_1}}$$
مثال محلول
لنفترض أن المنحنى يمرّ بالنقطتين (0، 3) و(2، 27). إذًا يكون $$b = \left( \frac{27}{3} \right)^{\frac{1}{2-0}} = 9^{0.5} = 3$$ و \(a = 3 / 3^{0} = 3\). وبذلك تكون الدالة هي \(y = 3\cdot 3^{x}\)، بزيادة قدرها 200% عند كل خطوة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تتشارك قيمتا y الإشارة نفسها؟ لأن \(b^{x}\) موجبة دائمًا، فإن \(a\cdot b^{x}\) تحتفظ بإشارة a مهما كانت قيمة x، ولذلك لا يمكن لنقطتين بإشارتين متعاكستين أن تقعا على المنحنى نفسه.
ماذا لو كان b أصغر من 1؟ عندئذٍ تكون الدالة اضمحلالًا أسيًا — أي تتناقص القيم كلما زادت x، وتكون نسبة النمو سالبة.
هل يمكن أن تكون قيم x سالبة أو غير صحيحة؟ نعم. أي قيم حقيقية لـ x تعمل بشرط أن يكون \(x_1 \neq x_2\).
