什么是总体标准差？
总体标准差用 \(\sigma\)（读作 sigma）表示，用来衡量一组数据的离散程度——前提是这组数据代表的是整个总体，而不是从中抽取的样本。\(\sigma\) 越小，说明数据越集中、紧紧围绕在平均值附近；\(\sigma\) 越大，则说明数据越分散。当你的数据覆盖了所研究群体的每一个成员时，就应该使用总体公式；如果手里只是一部分数据（即样本），则要改用样本标准差，它除以的是 \(N-1\) 而不是 \(N\)。
如何使用本计算器
在输入框中填入你的数字，用逗号或空格隔开即可，例如 4, 8, 15, 16, 23, 42。计算器会返回标准差 \(\sigma\)，同时给出数据个数 \(N\)、总和、平均值 \(\mu\) 以及方差 \(\sigma^2\)，方便你逐步核对每一步结果。
公式详解
首先求出这 \(N\) 个数值的平均值：
$$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i$$然后把每个数值与平均值之差的平方取平均，再开平方根：
$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}$$其中 \(x_i\) 表示每一个数据值，\(N\) 是数据的个数，\(\mu\) 则是总体平均值。
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实例演算
以数据 \(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\) 为例，共有 \(N = 8\) 个数值，总和为 40，因此：
$$\mu = \frac{40}{8} = 5$$各项偏差平方之和为 \(9+1+1+1+0+0+4+16 = 32\)，于是：
$$\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = \sqrt{4} = 2$$
常见问题
什么时候用总体、什么时候用样本？当你的数据就是完整的总体时，用总体标准差（除以 \(N\)）；当数据只是从更大群体中抽取的样本时，则用样本标准差（除以 \(N-1\)）。
方差是什么？方差 \(\sigma^2\) 就是标准差的平方，也就是开平方根之前、各数值与平均值偏差平方的平均值。
可以输入小数或负数吗？当然可以。数值之间用逗号或空格分隔即可，负数和小数都完全支持。
