Qu'est-ce que la propagation des incertitudes ?
Toute mesure physique s'accompagne d'une incertitude. Dès que l'on combine des grandeurs mesurées par des opérations arithmétiques, ces incertitudes doivent être reportées jusqu'au résultat final. Ce calculateur de propagation des incertitudes traite les quatre opérations de base — addition, soustraction, multiplication et division — pour deux valeurs A et B, chacune assortie de sa propre incertitude \(\delta A\) et \(\delta B\), en supposant que les erreurs sont aléatoires et indépendantes.
Comment l'utiliser
Choisissez l'opération, saisissez la valeur A et son incertitude \(\delta A\), puis la valeur B et son incertitude \(\delta B\). Le calculateur renvoie la valeur combinée Q, son incertitude absolue \(\delta Q\) et l'incertitude relative (en pourcentage).
Les formules
Pour les sommes et les différences, les incertitudes absolues se combinent quadratiquement :
$$\delta Q = \sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}$$Pour les produits et les quotients, ce sont les incertitudes relatives qui se combinent quadratiquement :
$$\frac{\delta Q}{\lvert Q \rvert} = \sqrt{\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2} + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^{2}}$$l'incertitude absolue valant alors \(\delta Q = \lvert Q \rvert \cdot\) cette valeur relative.
Exemple détaillé
Multiplions \(A = 10 \pm 0{,}5\) par \(B = 4 \pm 0{,}3\). Le produit vaut \(Q = 40\). Les incertitudes relatives sont \(0{,}5/10 = 0{,}05\) et \(0{,}3/4 = 0{,}075\). En les combinant :
$$\sqrt{0{,}05^{2} + 0{,}075^{2}} = \sqrt{0{,}0025 + 0{,}005625} = \sqrt{0{,}008125} \approx 0{,}090139$$On obtient donc \(\delta Q = 40 \times 0{,}090139 \approx 3{,}61\), soit \(Q = 40 \pm 3{,}61\) (environ 9,0 %).
FAQ
Pourquoi additionner quadratiquement plutôt que faire une simple somme ? Des erreurs aléatoires indépendantes se compensent partiellement en moyenne ; la combinaison statistiquement correcte est donc la racine carrée de la somme des carrés, et non une addition pure et simple.
La soustraction réduit-elle l'incertitude ? Non — pour \(A - B\), l'incertitude absolue reste la même \(\sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}\) que pour \(A + B\), même si Q diminue. C'est pourquoi soustraire des nombres presque égaux est numériquement risqué.
Que se passe-t-il si une valeur est nulle ? L'incertitude relative n'est pas définie lorsque la valeur est nulle ; le calculateur considère alors ce terme comme nul afin d'éviter une division par zéro.
