ما المقصود بانتشار الخطأ؟
كل قياس فيزيائي يحمل قدرًا من عدم اليقين. وعندما تجمع بين كميات مقيسة عبر العمليات الحسابية، يجب أن ينتقل هذا الخطأ إلى النتيجة النهائية. تتعامل حاسبة انتشار الخطأ هذه مع العمليات الأساسية الأربع — الجمع والطرح والضرب والقسمة — لقيمتين A وB، لكل منهما عدم يقين خاص \(\delta A\) و\(\delta B\)، على افتراض أن الأخطاء عشوائية ومستقلة عن بعضها.
كيفية الاستخدام
اختر العملية الحسابية، ثم أدخل القيمة A مع عدم اليقين الخاص بها \(\delta A\)، ثم القيمة B مع عدم اليقين \(\delta B\). تعرض لك الحاسبة القيمة الناتجة Q، وعدم اليقين المطلق \(\delta Q\)، إضافةً إلى عدم اليقين النسبي (بالنسبة المئوية).
المعادلات المستخدمة
في حالتي الجمع والطرح، تُجمع قيم عدم اليقين المطلقة تربيعيًا: $$\delta Q = \sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}$$ أما في حالتي الضرب والقسمة، فتُجمع قيم عدم اليقين النسبية تربيعيًا: $$\frac{\delta Q}{\lvert Q \rvert} = \sqrt{\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2} + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^{2}}$$ ويُحسب عدم اليقين المطلق بعد ذلك بالعلاقة \(\delta Q = \lvert Q \rvert \times\) القيمة النسبية الناتجة.
مثال محلول
لنضرب \(A = 10 \pm 0.5\) في \(B = 4 \pm 0.3\). يكون حاصل الضرب \(Q = 40\). وقيم عدم اليقين النسبية هي \(0.5/10 = 0.05\) و\(0.3/4 = 0.075\). وبجمعها تربيعيًا: $$\sqrt{0.05^{2} + 0.075^{2}} = \sqrt{0.0025 + 0.005625} = \sqrt{0.008125} \approx 0.090139$$ ومن ثَمّ \(\delta Q = 40 \times 0.090139 \approx 3.61\)، فتكون النتيجة \(Q = 40 \pm 3.61\) (أي نحو 9.0%).
الأسئلة الشائعة
لماذا نجمع تربيعيًا بدلًا من الجمع المباشر؟ لأن الأخطاء العشوائية المستقلة يلغي بعضها بعضًا جزئيًا في المتوسط، لذا فإن الجمع الصحيح إحصائيًا هو الجذر التربيعي لمجموع المربعات وليس الجمع البسيط.
هل يقلل الطرح من عدم اليقين؟ لا — في حالة \(A - B\) يبقى عدم اليقين المطلق هو نفسه \(\sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}\) كما في حالة \(A + B\)، رغم أن قيمة Q تصبح أصغر. ولهذا السبب يُعدّ طرح عددين متقاربين جدًا أمرًا خطيرًا من الناحية العددية.
ماذا لو كانت إحدى القيم صفرًا؟ عدم اليقين النسبي غير معرَّف عندما تكون القيمة صفرًا، لذا تعامل الحاسبة ذلك الحد على أنه صفر لتجنّب القسمة على صفر.
