오차 전파란?
모든 물리 측정에는 불확도가 따라붙습니다. 측정한 값들을 사칙연산으로 조합하면 각각의 불확도도 최종 결과까지 함께 따라가야 합니다. 이 오차 전파 계산기는 두 값 A와 B(각각 불확도 δA, δB를 가짐)에 대해 더하기·빼기·곱하기·나누기 네 가지 기본 연산을 처리하며, 오차가 무작위적이고 서로 독립이라고 가정합니다.
사용 방법
먼저 연산을 고른 뒤, 값 A와 그 불확도 δA를 입력하고 이어서 값 B와 불확도 δB를 입력하세요. 계산기는 조합된 결과값 Q, 절대 불확도 δQ, 그리고 상대 불확도(백분율)를 함께 보여줍니다.
계산 공식
덧셈과 뺄셈에서는 절대 불확도가 제곱합의 형태로 합쳐집니다:
$$\delta Q = \sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}$$곱셈과 나눗셈에서는 상대 불확도가 제곱합으로 합쳐집니다:
$$\frac{\delta Q}{\lvert Q \rvert} = \sqrt{\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2} + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^{2}}$$절대 불확도는 여기에 \(\delta Q = \lvert Q \rvert \cdot\) (이 상대값)을 곱해 구합니다.
예제로 살펴보기
\(A = 10 \pm 0.5\)와 \(B = 4 \pm 0.3\)을 곱해 봅시다. 곱셈 결과는 \(Q = 40\)입니다. 상대 불확도는 각각 \(0.5/10 = 0.05\), \(0.3/4 = 0.075\)입니다. 이를 합치면
$$\sqrt{0.05^{2} + 0.075^{2}} = \sqrt{0.0025 + 0.005625} = \sqrt{0.008125} \approx 0.090139$$따라서 \(\delta Q = 40 \times 0.090139 \approx 3.61\)이 되어 \(Q = 40 \pm 3.61\)(약 9.0%)이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 단순히 더하지 않고 제곱합으로 더하나요? 서로 독립인 무작위 오차는 평균적으로 일부가 상쇄되기 때문에, 통계적으로 올바른 조합 방식은 단순 합이 아니라 제곱의 합에 제곱근을 취하는 것입니다.
뺄셈을 하면 불확도가 줄어드나요? 아니요. \(A - B\)의 절대 불확도는 \(A + B\)와 똑같이 \(\sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}\)입니다. Q 값 자체는 작아지더라도 불확도는 그대로죠. 그래서 거의 비슷한 두 수를 빼는 계산은 수치적으로 위험합니다.
값이 0이면 어떻게 되나요? 값이 0이면 상대 불확도를 정의할 수 없습니다. 따라서 계산기는 0으로 나누는 상황을 피하기 위해 해당 항을 0으로 처리합니다.
