त्रुटि प्रसार (एरर प्रोपगेशन) क्या है?
हर भौतिक माप के साथ कुछ न कुछ अनिश्चितता जुड़ी होती है। जब आप मापी गई राशियों को अंकगणितीय क्रियाओं के ज़रिए आपस में जोड़ते या मिलाते हैं, तो ये अनिश्चितताएँ भी अंतिम परिणाम तक पहुँचती हैं। यह त्रुटि प्रसार कैलकुलेटर चार बुनियादी संक्रियाओं — जोड़, घटाव, गुणा और भाग — को संभालता है। इसमें दो मान A और B लिए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी अनिश्चितता δA और δB होती है, और यह मान लिया जाता है कि त्रुटियाँ यादृच्छिक (random) और एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले संक्रिया चुनें, फिर मान A और उसकी अनिश्चितता δA दर्ज करें, उसके बाद मान B और उसकी अनिश्चितता δB। कैलकुलेटर आपको संयुक्त मान Q, उसकी निरपेक्ष (absolute) अनिश्चितता δQ, और सापेक्ष (प्रतिशत) अनिश्चितता बता देगा।
सूत्र
जोड़ और घटाव के लिए निरपेक्ष अनिश्चितताएँ वर्ग-योग (quadrature) के रूप में मिलती हैं:
$$\delta Q = \sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}$$गुणा और भाग के लिए सापेक्ष अनिश्चितताएँ वर्ग-योग में मिलती हैं:
$$\frac{\delta Q}{\lvert Q \rvert} = \sqrt{\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2} + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^{2}}$$और इसके बाद निरपेक्ष अनिश्चितता निकलती है \(\delta Q = \lvert Q \rvert \cdot\) उस सापेक्ष मान का गुणनफल।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = 10 \pm 0.5\) को \(B = 4 \pm 0.3\) से गुणा करना है। गुणनफल \(Q = 40\) होगा। सापेक्ष अनिश्चितताएँ हैं \(0.5/10 = 0.05\) और \(0.3/4 = 0.075\)। इन्हें मिलाने पर:
$$\sqrt{0.05^{2} + 0.075^{2}} = \sqrt{0.0025 + 0.005625} = \sqrt{0.008125} \approx 0.090139$$तो \(\delta Q = 40 \times 0.090139 \approx 3.61\), यानी \(Q = 40 \pm 3.61\) (लगभग 9.0%)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सीधे जोड़ने के बजाय वर्ग-योग (quadrature) में क्यों जोड़ते हैं? स्वतंत्र यादृच्छिक त्रुटियाँ औसतन एक-दूसरे को आंशिक रूप से रद्द कर देती हैं, इसलिए सांख्यिकीय रूप से सही तरीका सीधा योग नहीं, बल्कि वर्गों के योग का वर्गमूल लेना है।
क्या घटाव से अनिश्चितता कम हो जाती है? नहीं — \(A - B\) के लिए निरपेक्ष अनिश्चितता वही \(\sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}\) रहती है जो \(A + B\) के लिए होती है, भले ही Q छोटा हो जाए। यही कारण है कि लगभग बराबर संख्याओं को घटाना संख्यात्मक रूप से जोखिम भरा होता है।
अगर कोई मान शून्य हो तो? जब मान शून्य हो तो सापेक्ष अनिश्चितता परिभाषित नहीं होती, इसलिए शून्य से भाग होने से बचाने के लिए कैलकुलेटर उस पद को शून्य मान लेता है।
