Что такое распространение погрешностей?
Любое физическое измерение сопровождается погрешностью. Когда вы комбинируете измеренные величины с помощью арифметических операций, эти погрешности нужно «протянуть» до итогового результата. Этот калькулятор распространения погрешностей работает с четырьмя базовыми действиями — сложением, вычитанием, умножением и делением — для двух величин A и B, у каждой из которых своя неопределённость \(\delta A\) и \(\delta B\), при условии, что ошибки случайны и независимы.
Как пользоваться
Выберите операцию, введите значение A и его погрешность \(\delta A\), затем значение B и его погрешность \(\delta B\). Калькулятор выдаст итоговое значение Q, его абсолютную погрешность \(\delta Q\) и относительную (процентную) погрешность.
Формулы
Для суммы и разности абсолютные погрешности складываются квадратично:
$$\delta Q = \sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}$$Для произведения и частного квадратично складываются уже относительные погрешности:
$$\frac{\delta Q}{\lvert Q \rvert} = \sqrt{\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2} + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^{2}}$$а абсолютная погрешность вычисляется как \(\delta Q = \lvert Q \rvert \cdot\) (это относительное значение).
Разбор примера
Умножим \(A = 10 \pm 0{,}5\) на \(B = 4 \pm 0{,}3\). Произведение равно \(Q = 40\). Относительные погрешности составляют \(0{,}5/10 = 0{,}05\) и \(0{,}3/4 = 0{,}075\). Складываем квадратично:
$$\sqrt{0{,}05^{2} + 0{,}075^{2}} = \sqrt{0{,}0025 + 0{,}005625} = \sqrt{0{,}008125} \approx 0{,}090139$$Тогда \(\delta Q = 40 \times 0{,}090139 \approx 3{,}61\), то есть \(Q = 40 \pm 3{,}61\) (примерно 9,0 %).
Частые вопросы
Почему складываем квадратично, а не просто суммируем? Независимые случайные ошибки в среднем частично компенсируют друг друга, поэтому статистически корректным является не простое сложение, а корень из суммы квадратов.
Уменьшает ли вычитание погрешность? Нет — для \(A - B\) абсолютная погрешность остаётся той же самой \(\sqrt{\delta A^{2} + \delta B^{2}}\), что и для \(A + B\), хотя само значение Q становится меньше. Именно поэтому вычитание почти равных чисел опасно с точки зрения точности.
А если одно из значений равно нулю? Относительная погрешность не определена при нулевом значении, поэтому калькулятор приравнивает этот член к нулю, чтобы избежать деления на ноль.
