Qu'est-ce que le calculateur de score Z en probabilité ?
Cet outil convertit un score Z (le nombre d'écarts-types qui séparent une valeur de la moyenne) en une probabilité, à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (CDF), notée \(\Phi(z)\). Les probabilités sont au cœur des tests d'hypothèse, des intervalles de confiance et du calcul des rangs centiles : passer d'un score Z à une probabilité est donc l'une des opérations les plus courantes en statistique.
Comment l'utiliser
Saisissez votre score Z, puis choisissez le type de probabilité. La queue à gauche donne \(P(Z < z)\) — l'aire située à gauche de \(z\), c'est-à-dire le rang centile. La queue à droite donne \(P(Z > z)\), utile pour les tests de significativité unilatéraux. Le mode bilatéral donne \(P(|Z| > |z|)\), soit l'aire cumulée dans les deux queues, employée pour les tests bilatéraux. Le résultat affiche également les trois valeurs, pour que vous puissiez retenir celle dont vous avez besoin.
La formule expliquée
La loi normale centrée réduite a une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Sa fonction de répartition s'exprime à l'aide de la fonction d'erreur :
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
Comme la fonction erf n'admet pas de forme analytique fermée, ce calculateur s'appuie sur l'approximation rationnelle d'Abramowitz & Stegun (7.1.26), précise à environ \(1{,}5\times10^{-7}\) — bien plus qu'il n'en faut pour les applications statistiques courantes.
Exemple concret
Pour \(z = 1{,}96\), la probabilité de la queue à gauche \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\). Autrement dit, 97,5 % de la distribution se trouve sous 1,96. La queue à droite vaut alors $$1 - 0{,}975 = 0{,}025,$$ et la valeur bilatérale est $$2 \times 0{,}025 = 0{,}05$$ — soit précisément le fameux seuil de significativité de 5 %.
Foire aux questions
Que donne un score Z égal à 0 ? \(\Phi(0) = 0{,}5\), puisque exactement la moitié de la distribution se situe sous la moyenne.
Le score Z peut-il être négatif ? Oui. Un score Z négatif donne une probabilité de queue à gauche inférieure à 0,5 ; la propriété de symétrie \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) reste vérifiée.
Quelle probabilité correspond à la p-valeur ? Pour un test unilatéral, utilisez la queue appropriée ; pour un test bilatéral, utilisez la valeur bilatérale.
