ما هي حاسبة تحويل الدرجة المعيارية إلى احتمال؟
تحوّل هذه الأداة الدرجة المعيارية (z) — أي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعد بها قيمة ما عن المتوسط — إلى احتمال باستخدام دالة التوزيع الطبيعي القياسي التراكمية (CDF) التي يُرمز إليها بـ \(\Phi(z)\). تُعدّ الاحتمالات حجر الأساس في اختبار الفرضيات وفترات الثقة وترتيب المئينات، لذا فإن تحويل قيمة z إلى احتمال هو من أكثر المهام شيوعًا في علم الإحصاء.
كيفية الاستخدام
أدخل الدرجة المعيارية (z) ثم اختر نوع الاحتمال. الذيل الأيسر يعطي \(P(Z < z)\) — أي المساحة الواقعة على يسار z، وهي تمثّل المئين. الذيل الأيمن يعطي \(P(Z > z)\)، وهو مفيد في اختبارات الدلالة أحادية الاتجاه. الذيلان يعطي \(P(|Z| > |z|)\)، أي مجموع المساحة في الذيلين معًا، ويُستخدم في الاختبارات ثنائية الاتجاه. كما تُظهر النتيجة القيم الثلاث جميعها لتختار منها ما يناسبك.
شرح المعادلة
التوزيع الطبيعي القياسي له متوسط يساوي 0 وانحراف معياري يساوي 1. وتُكتب دالته التراكمية باستخدام دالة الخطأ (error function) على النحو التالي:
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
ولأن دالة الخطأ erf ليس لها صيغة مغلقة، تعتمد هذه الحاسبة على التقريب الكسري النسبي لأبراموفيتز وستيغن (7.1.26)، وهو دقيق حتى نحو \(1.5\times10^{-7}\) — وهذا أكثر من كافٍ للتطبيقات الإحصائية العملية.
مثال محلول
عند \(z = 1.96\)، يكون احتمال الذيل الأيسر \(\Phi(1.96) \approx 0.975\)، أي أن 97.5% من التوزيع يقع أسفل القيمة 1.96. أما الذيل الأيمن فيساوي \(1 - 0.975 = 0.025\)، وقيمة الذيلين تساوي \(2 \times 0.025 = 0.05\) — وهي بالضبط عتبة الدلالة المألوفة عند 5%.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعطي درجة معيارية تساوي صفرًا؟ \(\Phi(0) = 0.5\)، لأن نصف التوزيع تمامًا يقع أسفل المتوسط.
هل يمكن أن تكون قيمة z سالبة؟ نعم. قيمة z السالبة تعطي احتمال ذيل أيسر أقل من 0.5، وتنطبق خاصية التماثل \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).
أيّ احتمال هو قيمة p؟ في الاختبار أحادي الاتجاه استخدم الذيل المناسب، وفي الاختبار ثنائي الاتجاه استخدم قيمة الذيلين.
