Zスコア→確率 計算ツールとは？
このツールは、Zスコア（ある値が平均から標準偏差いくつ分だけ離れているかを表す数値）を、標準正規分布の累積分布関数（CDF）\(\Phi(z)\) を使って確率に変換します。確率は仮説検定・信頼区間・パーセンタイル順位のすべての土台となるため、zを確率に直す作業は統計でもっとも頻繁に登場する計算のひとつです。
使い方
Zスコアを入力し、求めたい確率のタイプを選びます。左片側は \(P(Z < z)\)、つまりzより左側の面積で、これはパーセンタイルにあたります。右片側は \(P(Z > z)\) で、片側有意性検定に使います。両側は \(P(|Z| > |z|)\)、すなわち両端の面積を合わせたもので、両側検定に用います。計算結果には3つの値すべてが表示されるので、必要なものをそのまま選べます。
計算式の解説
標準正規分布は平均0・標準偏差1の分布です。そのCDFは誤差関数を使って次のように表されます。
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$erf には閉じた形の式が存在しないため、本ツールでは Abramowitz & Stegun の有理関数近似（7.1.26）を採用しています。誤差は約 \(1.5\times10^{-7}\) で、実務上の統計には十分すぎる精度です。
計算例
\(z = 1.96\) の場合、左片側確率 \(\Phi(1.96)\) は約 \(0.975\) となります。これは分布全体の97.5%が1.96より下側にあることを意味します。右片側は \(1 - 0.975 = 0.025\)、両側の値は \(2 \times 0.025 = 0.05\) となり、これはまさにおなじみの有意水準5%にあたります。
よくある質問
Zスコアが0のときはどうなりますか？ \(\Phi(0) = 0.5\) です。ちょうど分布の半分が平均より下側にあるためです。
zはマイナスでも大丈夫ですか？ はい。負のzでは左片側確率が0.5を下回ります。対称性 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) が成り立ちます。
p値はどの確率を見ればいいですか？ 片側検定なら該当する側の確率を、両側検定なら両側の値を使います。
