Z-점수 확률 변환 계산기란?
이 도구는 z-점수(어떤 값이 평균에서 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타내는 수치)를 표준정규분포 누적분포함수(CDF), 즉 \(\Phi(z)\)를 이용해 확률로 변환합니다. 확률은 가설 검정, 신뢰구간, 백분위 순위의 기본이 되기 때문에, z 값을 확률로 바꾸는 작업은 통계에서 가장 자주 쓰이는 계산 중 하나입니다.
사용 방법
z-점수를 입력하고 원하는 확률 유형을 선택하세요. 좌측(Left tail)은 \(P(Z < z)\), 즉 z의 왼쪽 면적을 구하며 이것이 곧 백분위입니다. 우측(Right tail)은 \(P(Z > z)\)로, 단측 유의성 검정에 유용합니다. 양측(Two-tailed)은 \(P(|Z| > |z|)\)로, 양쪽 꼬리 면적을 합한 값이며 양측 검정에 사용됩니다. 결과 화면에는 세 가지 값이 모두 표시되므로 필요한 값을 골라 쓸 수 있습니다.
공식 설명
표준정규분포는 평균이 0이고 표준편차가 1입니다. 그 CDF는 오차함수(error function)를 이용해 다음과 같이 표현됩니다.
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
erf에는 닫힌 형태(closed form)의 해가 없기 때문에, 이 계산기는 Abramowitz & Stegun의 유리함수 근사식(7.1.26)을 사용합니다. 정확도는 약 \(1.5\times10^{-7}\)로, 실무 통계에서는 차고 넘치는 수준입니다.
계산 예시
\(z = 1.96\)일 때, 좌측 확률 \(\Phi(1.96) \approx 0.975\)입니다. 즉 분포의 97.5%가 1.96보다 아래에 있다는 뜻입니다. 우측 확률은 \(1 - 0.975 = 0.025\)이고, 양측 확률은 \(2 \times 0.025 = 0.05\)로, 우리에게 익숙한 5% 유의수준과 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
z-점수가 0이면 어떤 값이 나오나요? \(\Phi(0) = 0.5\)입니다. 분포의 정확히 절반이 평균보다 아래에 있기 때문입니다.
z가 음수일 수도 있나요? 네, 가능합니다. 음수 z는 좌측 확률이 0.5보다 작게 나오며, 대칭 관계 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\)가 성립합니다.
어느 확률이 p값인가요? 단측 검정에서는 해당하는 쪽 꼬리 값을, 양측 검정에서는 양측 값을 사용하면 됩니다.
