Что такое калькулятор Z-оценки в вероятность?
Этот инструмент переводит z-оценку (число стандартных отклонений, на которое значение удалено от среднего) в вероятность с помощью стандартной нормальной функции распределения (CDF), обозначаемой \(\Phi(z)\). Вероятности лежат в основе проверки гипотез, доверительных интервалов и расчёта процентилей, поэтому перевод z в вероятность — одна из самых частых задач в статистике.
Как пользоваться
Введите свою z-оценку и выберите тип вероятности. Левый хвост даёт \(P(Z < z)\) — площадь слева от z, то есть процентиль. Правый хвост даёт \(P(Z > z)\) и удобен для односторонних тестов значимости. Двусторонний даёт \(P(|Z| > |z|)\) — суммарную площадь обоих хвостов, которая используется в двусторонних тестах. В результате показываются сразу все три значения, так что вы можете взять то, которое вам нужно.
Разбор формулы
Стандартное нормальное распределение имеет среднее 0 и стандартное отклонение 1. Его функция распределения записывается через функцию ошибок (erf):
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
Поскольку у erf нет аналитического выражения в замкнутой форме, калькулятор использует рациональную аппроксимацию Абрамовица и Стиган (формула 7.1.26) с точностью около \(1{,}5\times10^{-7}\) — этого более чем достаточно для практических статистических расчётов.
Пример расчёта
Для z = 1,96 вероятность левого хвоста \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\). Это значит, что 97,5% распределения лежит ниже 1,96. Правый хвост равен \(1 - 0{,}975 = 0{,}025\), а двустороннее значение — \(2 \times 0{,}025 = 0{,}05\), что в точности соответствует привычному уровню значимости 5%.
Частые вопросы
Что даёт z-оценка, равная 0? \(\Phi(0) = 0{,}5\), поскольку ровно половина распределения лежит ниже среднего.
Может ли z быть отрицательным? Да. Отрицательное z даёт вероятность левого хвоста меньше 0,5; при этом выполняется симметрия \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).
Какая из вероятностей является p-значением? Для одностороннего теста используйте соответствующий хвост, а для двустороннего — двустороннее значение.
