Công cụ chuyển Z-Score sang xác suất là gì?
Công cụ này giúp chuyển một z-score (số độ lệch chuẩn mà một giá trị nằm cách xa giá trị trung bình) thành xác suất, dựa trên hàm phân phối tích lũy chuẩn (CDF), ký hiệu là \(\Phi(z)\). Xác suất chính là nền tảng của kiểm định giả thuyết, khoảng tin cậy và xếp hạng phân vị, vì vậy việc đổi z thành xác suất là một trong những thao tác phổ biến nhất trong thống kê.
Cách sử dụng
Hãy nhập z-score của bạn rồi chọn loại xác suất muốn tính. Đuôi trái cho \(P(Z < z)\) — diện tích nằm bên trái của z, tức là phân vị. Đuôi phải cho \(P(Z > z)\), hữu ích cho các kiểm định ý nghĩa một phía. Hai đuôi cho \(P(|Z| > |z|)\), tức tổng diện tích ở cả hai đuôi, dùng cho kiểm định hai phía. Kết quả cũng hiển thị cả ba giá trị để bạn dễ dàng chọn đúng loại mình cần.
Giải thích công thức
Phân phối chuẩn tắc có giá trị trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1. Hàm CDF của nó được viết qua hàm sai số (error function):
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
Vì hàm erf không có dạng biểu thức đóng, công cụ này sử dụng phép xấp xỉ hữu tỉ Abramowitz & Stegun (7.1.26), đạt độ chính xác khoảng \(1{,}5\times10^{-7}\) — quá đủ cho hầu hết bài toán thống kê thực tế.
Ví dụ minh họa
Với z = 1,96, xác suất đuôi trái \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\). Điều này có nghĩa là 97,5% phân phối nằm dưới mức 1,96. Đuôi phải là \(1 - 0{,}975 = 0{,}025\), còn giá trị hai đuôi là \(2 \times 0{,}025 = 0{,}05\) — đúng bằng ngưỡng ý nghĩa 5% quen thuộc.
Câu hỏi thường gặp
Z-score bằng 0 thì cho kết quả gì? \(\Phi(0) = 0{,}5\), vì đúng một nửa phân phối nằm dưới giá trị trung bình.
Z có thể âm không? Có. Z âm sẽ cho xác suất đuôi trái nhỏ hơn 0,5; tính chất đối xứng \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) luôn đúng.
Giá trị nào là p-value? Với kiểm định một phía, hãy dùng đuôi tương ứng; với kiểm định hai phía, hãy dùng giá trị hai đuôi.
