¿Qué es la calculadora de puntuación Z a probabilidad?
Esta herramienta convierte una puntuación Z (el número de desviaciones estándar a las que un valor se aleja de la media) en una probabilidad mediante la función de distribución acumulada (CDF) normal estándar, que se denota como \(\Phi(z)\). Las probabilidades son la base del contraste de hipótesis, los intervalos de confianza y los rangos de percentil, así que pasar de una Z a una probabilidad es una de las tareas más habituales en estadística.
Cómo usarla
Introduce tu puntuación Z y elige el tipo de probabilidad. La cola izquierda calcula \(P(Z < z)\), es decir, el área a la izquierda de z, que coincide con el percentil. La cola derecha calcula \(P(Z > z)\), muy útil para las pruebas de significación unilaterales. La opción de dos colas calcula \(P(|Z| > |z|)\), el área combinada de ambas colas, que se emplea en las pruebas bilaterales. El resultado muestra además los tres valores, de modo que puedas usar el que necesites.
La fórmula explicada
La distribución normal estándar tiene media 0 y desviación estándar 1. Su CDF se expresa mediante la función de error:
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
Como erf no tiene forma cerrada, esta calculadora utiliza la aproximación racional de Abramowitz y Stegun (7.1.26), con una precisión de unos \(1{,}5\times 10^{-7}\), más que suficiente para la estadística práctica.
Ejemplo resuelto
Para \(z = 1{,}96\), la probabilidad de cola izquierda \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\). Esto significa que el 97,5 % de la distribución queda por debajo de 1,96. La cola derecha es \(1 - 0{,}975 = 0{,}025\) y el valor de dos colas es \(2 \times 0{,}025 = 0{,}05\), que es precisamente el conocido umbral de significación del 5 %.
Preguntas frecuentes
¿Qué da una puntuación Z de 0? \(\Phi(0) = 0{,}5\), ya que exactamente la mitad de la distribución queda por debajo de la media.
¿Puede ser negativa la Z? Sí. Una Z negativa da una probabilidad de cola izquierda inferior a 0,5; se cumple la simetría \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).
¿Qué probabilidad es el valor p? En una prueba unilateral usa la cola correspondiente; en una prueba bilateral usa el valor de dos colas.
