什麼是 Z 分數轉機率計算機？
這個工具能把 Z 分數（也就是某個數值距離平均數有幾個標準差）透過標準常態累積分配函數（CDF）\(\Phi(z)\) 換算成機率。機率是假設檢定、信賴區間與百分位排名的基礎，因此「把 Z 值轉成機率」幾乎是統計分析中最常見的步驟之一。
如何使用
輸入你的 Z 分數，再選擇要計算的機率類型。左尾會給出 \(P(Z < z)\)，也就是 z 左側的面積，等同於百分位數。右尾則是 \(P(Z > z)\)，適合用於單尾顯著性檢定。雙尾為 \(P(|Z| > |z|)\)，是兩側尾端面積的總和，常用於雙尾檢定。計算結果會同時列出這三個數值，方便你依需求挑選。
公式解析
標準常態分配的平均數為 0、標準差為 1，其 CDF 可用誤差函數（error function）表示：
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
由於 erf 沒有封閉解，本計算機採用 Abramowitz & Stegun 的有理近似式（7.1.26），誤差約在 \(1.5\times10^{-7}\) 以內——對於一般統計應用來說綽綽有餘。
實例演算
以 \(z = 1.96\) 為例，左尾機率 \(\Phi(1.96) \approx 0.975\)，代表整個分配中有 97.5% 落在 1.96 以下。右尾為 \(1 - 0.975 = 0.025\)，雙尾則是 \(2 \times 0.025 = 0.05\)——這正是我們最熟悉的 5% 顯著水準。
常見問題
Z 分數為 0 會得到什麼？\(\Phi(0) = 0.5\)，因為剛好有一半的分配落在平均數以下。
Z 可以是負數嗎？可以。負的 Z 值對應的左尾機率會小於 0.5，並符合對稱關係 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\)。
哪一個機率才是 p 值？單尾檢定請取對應的那一側尾端；雙尾檢定則使用雙尾數值。
