Z-स्कोर से प्रायिकता कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी z-स्कोर (यानी कोई मान माध्य से कितने स्टैंडर्ड डेविएशन दूर है) को स्टैंडर्ड नॉर्मल क्यूमुलेटिव डिस्ट्रिब्यूशन फंक्शन (CDF) की मदद से प्रायिकता में बदल देता है, जिसे \(\Phi(z)\) से दर्शाया जाता है। प्रायिकता ही हाइपोथिसिस टेस्टिंग, कॉन्फिडेंस इंटरवल और पर्सेंटाइल रैंकिंग की नींव है, इसलिए z को प्रायिकता में बदलना सांख्यिकी (statistics) के सबसे आम कामों में से एक है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
अपना z-स्कोर डालें और प्रायिकता का प्रकार चुनें। लेफ्ट टेल से \(P(Z < z)\) मिलता है — यानी z के बाईं ओर का क्षेत्रफल, जो पर्सेंटाइल होता है। राइट टेल से \(P(Z > z)\) मिलता है, जो एक-तरफ़ा (one-sided) सिग्निफिकेंस टेस्ट के लिए उपयोगी है। टू-टेल्ड से \(P(|Z| > |z|)\) मिलता है, यानी दोनों टेल का कुल क्षेत्रफल, जिसका इस्तेमाल दो-तरफ़ा (two-sided) टेस्ट में होता है। नतीजा तीनों मान दिखाता है ताकि आप जो चाहें वही चुन सकें।
फ़ॉर्मूला समझें
स्टैंडर्ड नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन का माध्य 0 और स्टैंडर्ड डेविएशन 1 होता है। इसका CDF एरर फंक्शन (error function) के ज़रिए इस तरह लिखा जाता है:
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$चूँकि erf का कोई क्लोज़्ड फ़ॉर्म नहीं होता, इसलिए यह कैलकुलेटर Abramowitz & Stegun के रैशनल अप्रॉक्सिमेशन (7.1.26) का उपयोग करता है, जो लगभग \(1.5\times10^{-7}\) तक सटीक है — व्यावहारिक सांख्यिकी के लिए यह कहीं ज़्यादा है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(z = 1.96\) के लिए, लेफ्ट-टेल प्रायिकता \(\Phi(1.96) \approx 0.975\) होती है। इसका मतलब है कि डिस्ट्रिब्यूशन का 97.5% हिस्सा 1.96 के नीचे आता है। राइट टेल होगी \(1 - 0.975 = 0.025\), और टू-टेल्ड मान होगा \(2 \times 0.025 = 0.05\) — जो बिल्कुल वही जाना-पहचाना 5% सिग्निफिकेंस थ्रेशोल्ड है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
z-स्कोर 0 होने पर क्या मिलता है? \(\Phi(0) = 0.5\), क्योंकि डिस्ट्रिब्यूशन का ठीक आधा हिस्सा माध्य के नीचे होता है।
क्या z ऋणात्मक (negative) हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक z से लेफ्ट-टेल प्रायिकता 0.5 से कम मिलती है; यहाँ \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) की समरूपता (symmetry) लागू होती है।
कौन-सी प्रायिकता p-वैल्यू है? एक-तरफ़ा टेस्ट के लिए उपयुक्त टेल इस्तेमाल करें; दो-तरफ़ा टेस्ट के लिए टू-टेल्ड मान का इस्तेमाल करें।
