R-स्क्वेयर्ड क्या है?
R-स्क्वेयर्ड (R²), जिसे निर्धारण गुणांक (coefficient of determination) भी कहते हैं, यह बताता है कि किसी मॉडल के अनुमान देखे गए वास्तविक डेटा से कितना मेल खाते हैं। इसका मान 0 से 1 के बीच होता है (अक्सर प्रतिशत में दर्शाया जाता है): R² का 1 होना यह दर्शाता है कि मॉडल परिणाम की पूरी विविधता (variability) को समझा देता है, जबकि 0 का मतलब है कि वह कुछ भी नहीं समझा पाता। सांख्यिकी, मशीन लर्निंग और रिग्रेशन विश्लेषण में R² सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाले goodness-of-fit माप में से एक है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने वास्तविक (observed) मान और अपने अनुमानित (मॉडल वाले) मान कॉमा से अलग की गई सूची के रूप में दर्ज करें। दोनों सूचियों की लंबाई समान और क्रम एक जैसा होना चाहिए। कैलकुलेटर अवशिष्ट वर्ग योग (residual sum of squares), कुल वर्ग योग (total sum of squares) की गणना करता है और R² के साथ-साथ समझाई गई विविधता का प्रतिशत भी बताता है।
फ़ॉर्मूला समझें
R² को इस तरह परिभाषित किया जाता है:
$$ R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} $$यहाँ \( SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 \) अवशिष्टों (यानी अनुमान की त्रुटियों) के वर्गों का योग है, और \( SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2 \) वास्तविक मानों की उनके औसत \( \bar{y} \) के आस-पास की कुल विविधता है। कुल विविधता की तुलना में जितनी छोटी अवशिष्ट त्रुटि होगी, R² उतना ही 1 के करीब पहुँचेगा।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए वास्तविक मान 3, 5, 7, 9, 11 हैं (औसत = 7) और अनुमान 2.8, 5.2, 6.9, 9.1, 10.8 हैं। तब अवशिष्ट 0.2, −0.2, 0.1, −0.1, 0.2 होंगे, यानी \( SS_{res} = 0.04+0.04+0.01+0.01+0.04 = 0.14 \)। औसत से विचलन −4, −2, 0, 2, 4 हैं, इसलिए \( SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40 \)। अतः \( R^{2} = 1 - 0.14/40 = 0.9965 \) — यानी मॉडल लगभग 99.65% विविधता को समझा देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या R² ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। जब किसी मॉडल को नए डेटा पर इस्तेमाल किया जाता है (जिस पर वह ordinary least squares से फिट नहीं किया गया), तो अनुमान केवल औसत का उपयोग करने से भी खराब हो सकते हैं, जिससे \( SS_{res} > SS_{tot} \) हो जाता है और R² ऋणात्मक आता है।
क्या ऊँचा R² अच्छे मॉडल का संकेत है? हमेशा नहीं। ऊँचा R² ओवरफ़िटिंग के कारण भी आ सकता है, और यह इस बात की पुष्टि नहीं करता कि मॉडल की मान्यताएँ सही हैं। हमेशा अवशिष्टों की जांच करें, और जब अलग-अलग संख्या में प्रिडिक्टर वाले मॉडलों की तुलना कर रहे हों तो adjusted R² पर भी विचार करें।
R² और सहसंबंध (correlation) में क्या अंतर है? सरल रैखिक रिग्रेशन (simple linear regression) के लिए, R² वास्तविक और अनुमानित मानों के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक (r) के वर्ग के बराबर होता है।
