ما هو معامل التحديد R²؟
معامل التحديد R² (يُرمز له بـ R-squared) هو مقياس يوضّح مدى تطابق تنبؤات النموذج مع البيانات المرصودة فعليًا. تتراوح قيمته بين 0 و1 (وغالبًا ما تُعرض كنسبة مئوية): فإذا كانت قيمة R² تساوي 1 فهذا يعني أن النموذج يفسّر كامل التباين في النتيجة، أما القيمة 0 فتعني أنه لا يفسّر أي جزء منه. ويُعدّ R² من أكثر مقاييس جودة الملاءمة استخدامًا في الإحصاء وتعلّم الآلة وتحليل الانحدار.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل القيم الفعلية المرصودة والقيم المتوقعة (الناتجة عن النموذج) على شكل قوائم مفصولة بفواصل. يجب أن تكون القائمتان بالطول نفسه وبالترتيب نفسه. تقوم الحاسبة بحساب مجموع مربعات البواقي، ومجموع المربعات الكلي، ثم تُرجع قيمة R² إلى جانب النسبة المئوية للتباين المُفسَّر.
شرح المعادلة
يُعرّف معامل التحديد R² على النحو التالي:
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$
حيث \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) هو مجموع مربعات البواقي (أخطاء التنبؤ)، و\(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) هو إجمالي تباين القيم الفعلية حول متوسطها \(\bar{y}\). وكلما صَغُر خطأ البواقي مقارنةً بالتباين الكلي، اقتربت قيمة R² من 1.
مثال محلول
لنفترض أن القيم الفعلية هي 3، 5، 7، 9، 11 (المتوسط = 7) وأن القيم المتوقعة هي 2.8، 5.2، 6.9، 9.1، 10.8. عندها تكون البواقي 0.2، −0.2، 0.1، −0.1، 0.2، أي أن \(SS_{res} = 0.04+0.04+0.01+0.01+0.04 = 0.14\). أما الانحرافات عن المتوسط فهي −4، −2، 0، 2، 4، فيكون \(SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40\). وبالتالي $$R^{2} = 1 - \frac{0.14}{40} = 0.9965$$ أي أن النموذج يفسّر نحو 99.65% من التباين.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون قيمة R² سالبة؟ نعم. عند تطبيق النموذج على بيانات جديدة (لم تُلائَم بطريقة المربعات الصغرى العادية)، قد تكون التنبؤات أسوأ من مجرد استخدام المتوسط، فيصبح \(SS_{res} > SS_{tot}\) وتكون قيمة R² سالبة.
هل تعني قيمة R² المرتفعة أن النموذج جيد؟ ليس دائمًا. فقد تنتج القيمة المرتفعة عن فرط الملاءمة (Overfitting)، كما أنها لا تؤكد صحة افتراضات النموذج. احرص دائمًا على فحص البواقي، وفكّر في استخدام معامل التحديد المعدّل (Adjusted R²) عند المقارنة بين نماذج تختلف في عدد المتغيّرات التنبؤية.
ما الفرق بين R² ومعامل الارتباط؟ في الانحدار الخطي البسيط، يساوي R² مربّع معامل ارتباط بيرسون (r) بين القيم الفعلية والمتوقعة.
