R-제곱(결정계수)이란?
R-제곱(R²)은 결정계수라고도 불리며, 모델의 예측값이 실제 관측 데이터를 얼마나 잘 설명하는지를 나타내는 지표입니다. 값은 0에서 1 사이(흔히 백분율로 표현)에 분포합니다. R²가 1이면 모델이 결과의 변동을 모두 설명한다는 뜻이고, 0이면 전혀 설명하지 못한다는 의미입니다. R²는 통계학, 머신러닝, 회귀분석에서 가장 널리 쓰이는 적합도 평가 지표 중 하나입니다.
계산기 사용 방법
실제 관측값과 모델의 예측값을 각각 쉼표로 구분된 목록 형태로 입력하세요. 두 목록은 길이가 같아야 하며, 순서도 서로 일치해야 합니다. 계산기는 잔차제곱합과 총제곱합을 구한 뒤, R²와 함께 설명된 분산의 비율(%)을 알려줍니다.
공식 풀이
R²는 다음과 같이 정의됩니다.
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$여기서 \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\)는 잔차제곱합(예측 오차의 제곱합)이고, \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\)는 실제값이 평균 \(\bar{y}\)을 중심으로 흩어진 정도, 즉 총분산을 나타냅니다. 총분산에 비해 잔차 오차가 작을수록 R²는 1에 가까워집니다.
계산 예시
실제값이 3, 5, 7, 9, 11(평균 = 7)이고 예측값이 2.8, 5.2, 6.9, 9.1, 10.8이라고 가정해 봅시다. 잔차는 0.2, −0.2, 0.1, −0.1, 0.2이므로 \(SS_{res} = 0.04+0.04+0.01+0.01+0.04 = 0.14\)입니다. 평균과의 편차는 −4, −2, 0, 2, 4이므로 \(SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40\)이 됩니다. 따라서 \(R^{2} = 1 - 0.14/40 = 0.9965\), 즉 이 모델은 전체 분산의 약 99.65%를 설명합니다.
자주 묻는 질문
R²가 음수가 될 수도 있나요? 네, 가능합니다. 최소제곱법으로 학습하지 않은 새로운 데이터에 모델을 적용하면, 단순히 평균값을 쓰는 것보다 예측이 더 나쁠 수 있습니다. 이 경우 \(SS_{res} > SS_{tot}\)가 되어 R²가 음수로 나타납니다.
R²가 높으면 좋은 모델인가요? 항상 그런 것은 아닙니다. 높은 R²는 과적합(overfitting)의 결과일 수 있으며, 모델의 가정이 올바르다는 것을 보장하지도 않습니다. 항상 잔차를 함께 살펴보고, 예측 변수의 개수가 다른 모델을 비교할 때는 조정된 R²(adjusted R²)를 함께 고려하세요.
R²와 상관계수는 어떻게 다른가요? 단순 선형회귀에서는 R²가 실제값과 예측값 사이의 피어슨 상관계수(r)를 제곱한 값과 같습니다.
