決定係数（R²）とは？
決定係数（R²）は「coefficient of determination」とも呼ばれ、モデルの予測値が実際に観測されたデータにどれだけ一致しているかを表す指標です。値は0から1の範囲（しばしばパーセンテージで表記）をとり、R²が1ならモデルが結果のばらつきをすべて説明できていることを、0なら全く説明できていないことを意味します。R²は統計学・機械学習・回帰分析において、適合度（goodness-of-fit）を測る指標として最も広く使われているものの一つです。
この計算ツールの使い方
実測値（observed）と予測値（モデルの出力）を、それぞれカンマ区切りで入力してください。2つのリストは同じ要素数・同じ順番である必要があります。本ツールは残差平方和（\(SS_{res}\)）と全平方和（\(SS_{tot}\)）を計算し、R²とともに「説明された分散の割合（％）」を表示します。
計算式の解説
R²は次のように定義されます。
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$
ここで \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) は残差（予測誤差）の平方和、\(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) は実測値の平均 \(\bar{y}\) まわりの全変動（全平方和）です。全変動に対して残差誤差が小さいほど、R²は1に近づきます。
計算例
実測値が 3, 5, 7, 9, 11（平均＝7）、予測値が 2.8, 5.2, 6.9, 9.1, 10.8 だとします。残差はそれぞれ 0.2, −0.2, 0.1, −0.1, 0.2 となるので、\(SS_{res} = 0.04+0.04+0.01+0.01+0.04 = 0.14\) です。一方、平均からの偏差は −4, −2, 0, 2, 4 なので、\(SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40\) となります。したがって $$R^{2} = 1 - \frac{0.14}{40} = 0.9965$$ となり、このモデルは分散の約99.65％を説明していることになります。
よくある質問（FAQ）
R²がマイナスになることはありますか？ あります。最小二乗法で当てはめたデータ以外（新しいデータ）にモデルを適用した場合、予測が単純な平均値を使うよりも悪くなることがあり、その場合 \(SS_{res} > SS_{tot}\) となってR²が負の値になります。
R²が高ければ良いモデルと言えますか？ 必ずしもそうとは限りません。R²が高い背景に過学習（オーバーフィッティング）が潜んでいることもあり、またR²が高いからといってモデルの前提条件が正しいとは限りません。残差を必ず確認し、説明変数の数が異なるモデルどうしを比較する際は自由度調整済み決定係数（調整済みR²）も併せて検討しましょう。
R²と相関係数の違いは？ 単回帰の場合、R²は実測値と予測値の間のピアソン相関係数（r）を2乗した値に等しくなります。
