Qu'est-ce que le R² ?
Le R² (R-carré), aussi appelé coefficient de détermination, mesure dans quelle mesure les prédictions d'un modèle correspondent aux données observées. Il varie de 0 à 1 (souvent exprimé en pourcentage) : un R² égal à 1 signifie que le modèle explique toute la variabilité du phénomène étudié, tandis qu'un R² de 0 indique qu'il n'en explique aucune. Le R² compte parmi les indicateurs de qualité d'ajustement les plus utilisés en statistiques, en apprentissage automatique et en analyse de régression.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos valeurs réelles observées et vos valeurs prédites (issues du modèle) sous forme de listes séparées par des virgules. Les deux listes doivent comporter le même nombre d'éléments, rangés dans le même ordre. Le calculateur détermine la somme des carrés des résidus, la somme totale des carrés, puis renvoie le R² ainsi que le pourcentage de variance expliquée.
La formule expliquée
Le R² se définit ainsi :
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$où \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) est la somme des carrés des résidus (les erreurs de prédiction), et \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) représente la variance totale des valeurs réelles autour de leur moyenne \(\bar{y}\). Plus l'erreur résiduelle est faible par rapport à la variance totale, plus le R² se rapproche de 1.
Exemple concret
Imaginons des valeurs réelles de 3, 5, 7, 9, 11 (moyenne = 7) et des prédictions de 2,8, 5,2, 6,9, 9,1, 10,8. Les résidus valent 0,2, −0,2, 0,1, −0,1, 0,2, d'où \(SS_{res} = 0{,}04+0{,}04+0{,}01+0{,}01+0{,}04 = 0{,}14\). Les écarts à la moyenne sont −4, −2, 0, 2, 4, donc \(SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40\). On obtient ainsi $$R^{2} = 1 - \frac{0{,}14}{40} = 0{,}9965$$ — le modèle explique environ 99,65 % de la variance.
Questions fréquentes
Le R² peut-il être négatif ? Oui. Lorsqu'on applique un modèle à de nouvelles données (non ajustées par la méthode des moindres carrés ordinaires), les prédictions peuvent être moins bonnes que le simple recours à la moyenne : on a alors \(SS_{res} > SS_{tot}\) et un R² négatif.
Un R² élevé garantit-il un bon modèle ? Pas toujours. Un R² élevé peut résulter d'un surapprentissage et ne confirme pas que les hypothèses du modèle sont respectées. Examinez toujours les résidus et privilégiez le R² ajusté pour comparer des modèles comportant un nombre de prédicteurs différent.
Quelle est la différence entre le R² et la corrélation ? Dans le cas d'une régression linéaire simple, le R² est égal au carré du coefficient de corrélation de Pearson (r) entre les valeurs réelles et les valeurs prédites.
