什么是 R²（决定系数）？
R²（读作"R 方"），又称决定系数，用来衡量模型预测值与实际观测数据的吻合程度。它的取值范围通常在 0 到 1 之间（也常用百分比表示）：R² 等于 1 表示模型解释了结果中的全部变异，等于 0 则表示模型几乎没有解释力。在统计学、机器学习和回归分析中，R² 是最常用的拟合优度指标之一。
如何使用本计算器
分别填入你的实际观测值和预测（模型输出）值，数值之间用英文逗号分隔。两组数据的个数要相同，且顺序一一对应。计算器会自动求出残差平方和、总平方和，并给出 R² 以及被模型解释的方差百分比。
公式解析
R² 的定义如下：
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$其中 \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) 为残差平方和（即预测误差的平方和），\(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) 为实际值围绕其均值 \(\bar{y}\) 的总变异。残差误差相对于总变异越小，R² 就越接近 1。
实例演算
假设实际值为 3、5、7、9、11（均值为 7），预测值为 2.8、5.2、6.9、9.1、10.8。各点残差为 0.2、−0.2、0.1、−0.1、0.2，因此 \(SS_{res} = 0.04+0.04+0.01+0.01+0.04 = 0.14\)。各点与均值的偏差为 −4、−2、0、2、4，因此 \(SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40\)。于是 $$R^{2} = 1 - \frac{0.14}{40} = 0.9965$$——即模型解释了约 99.65% 的方差。
常见问题
R² 会出现负值吗？会的。当把模型用于新数据（而非用普通最小二乘法拟合的数据）时，预测效果可能还不如直接使用均值，此时 \(SS_{res} > SS_{tot}\)，R² 便会变为负数。
R² 越高就代表模型越好吗？不一定。R² 偏高有可能是过拟合所致，而且它并不能证明模型的各项假设成立。建议始终检查残差，并在比较含有不同自变量个数的模型时改用调整后 R²（adjusted R²）。
R² 和相关系数有什么区别？在简单线性回归中，R² 恰好等于实际值与预测值之间皮尔逊相关系数（r）的平方。
