Что такое R-квадрат?
R-квадрат (R²), он же коэффициент детерминации, показывает, насколько хорошо прогнозы модели согласуются с наблюдаемыми данными. Значение лежит в диапазоне от 0 до 1 (часто выражается в процентах): R², равный 1, означает, что модель объясняет всю изменчивость отклика, а 0 — что не объясняет её вовсе. R² — одна из самых популярных метрик качества подгонки в статистике, машинном обучении и регрессионном анализе.
Как пользоваться калькулятором
Введите фактические наблюдаемые значения и прогнозные (модельные) значения в виде списков через запятую. Оба списка должны быть одинаковой длины и идти в одном и том же порядке. Калькулятор рассчитает остаточную сумму квадратов, общую сумму квадратов и вернёт R² вместе с долей объяснённой дисперсии в процентах.
Разбор формулы
R² определяется так:
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$где \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) — сумма квадратов остатков (ошибок прогноза), а \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) — общая изменчивость фактических значений относительно их среднего \(\bar{y}\). Чем меньше остаточная ошибка по сравнению с общей дисперсией, тем ближе R² к 1.
Разбор на примере
Пусть фактические значения равны 3, 5, 7, 9, 11 (среднее = 7), а прогнозы составляют 2,8; 5,2; 6,9; 9,1; 10,8. Тогда остатки равны 0,2; −0,2; 0,1; −0,1; 0,2, поэтому \(SS_{res} = 0{,}04+0{,}04+0{,}01+0{,}01+0{,}04 = 0{,}14\). Отклонения от среднего: −4, −2, 0, 2, 4, значит \(SS_{tot} = 16+4+0+4+16 = 40\). Следовательно, $$R^{2} = 1 - \frac{0{,}14}{40} = 0{,}9965$$ — модель объясняет около 99,65 % дисперсии.
Частые вопросы
Может ли R² быть отрицательным? Да. Если применять модель к новым данным (а не к тем, на которых она обучалась методом наименьших квадратов), прогнозы могут оказаться хуже, чем простое использование среднего. Тогда \(SS_{res} > SS_{tot}\), и R² становится отрицательным.
Высокий R² всегда означает хорошую модель? Не всегда. Высокий R² может быть следствием переобучения и не гарантирует, что предпосылки модели верны. Всегда анализируйте остатки и учитывайте скорректированный R² при сравнении моделей с разным числом предикторов.
В чём разница между R² и корреляцией? Для простой линейной регрессии R² равен квадрату коэффициента корреляции Пирсона (r) между фактическими и прогнозными значениями.
