समतुल्य अनुपात क्या होते हैं?
दो अनुपात समतुल्य तब कहलाते हैं जब वे राशियों के बीच एक ही रिश्ते को दर्शाते हैं, भले ही उनमें इस्तेमाल हुई संख्याएँ अलग हों। उदाहरण के लिए, अनुपात \(2:3\), \(4:6\), \(8:12\) और \(20:30\) के बराबर है, क्योंकि हर बार दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा किया गया है। यह कैलकुलेटर दो काम करता है: यह \(a:b\) को किसी गुणक \(k\) से बढ़ाकर एक समतुल्य अनुपात बनाता है, और यह जाँचता है कि दिए गए दो अनुपात \(a:b\) और \(c:d\) सचमुच बराबर हैं या नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले अनुपात को दो पदों, \(a\) और \(b\), के रूप में दर्ज करें। इसे बढ़ाने के लिए कोई गुणक \(k\) टाइप करें: कैलकुलेटर आपको \((a \cdot k):(b \cdot k)\) लौटाएगा। समतुल्यता जाँचने के लिए \(c\) और \(d\) भी भरें — टूल क्रॉस गुणनफल \(a \cdot d\) और \(b \cdot c\) की तुलना करता है और बताता है कि दोनों अनुपात मेल खाते हैं या नहीं।
सूत्र की व्याख्या
समतुल्य अनुपात बनाने के लिए दोनों पदों को बराबर मात्रा में बढ़ाएँ: $$\text{a} : \text{b} \;=\; \left(\text{a} \times \text{k}\right) : \left(\text{b} \times \text{k}\right)$$ चूँकि दोनों पद एक ही गुणक से बढ़ते हैं, इसलिए अनुपात वही बना रहता है। बराबरी जाँचने के लिए क्रॉस गुणन का उपयोग करें: $$\text{a} : \text{b} = \text{c} : \text{d} \iff \text{a} \times \text{d} = \text{b} \times \text{c}$$ यदि दोनों क्रॉस गुणनफल बराबर हों, तो अनुपात समतुल्य हैं; नहीं तो वे अलग हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें कि शुरुआत \(2:3\) से होती है और गुणक \(4\) है। गुणा करने पर हमें \(8:12\) मिलता है, यानी \(2:3\), \(8:12\) के बराबर है। क्रॉस गुणन से इसकी पुष्टि करें: $$a \cdot d = 2 \cdot 12 = 24 \quad \text{और} \quad b \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$$ दोनों क्रॉस गुणनफल बराबर हैं, इसलिए ये अनुपात वाकई समतुल्य हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या गुणक दशमलव या भिन्न हो सकता है? हाँ। कोई भी शून्येतर संख्या चलेगी; \(0.5\) इस्तेमाल करने पर छोटा समतुल्य अनुपात बनता है और \(1.5\) इस्तेमाल करने पर बड़ा।
भाग करने के बजाय क्रॉस गुणन क्यों? क्रॉस गुणन में भाग नहीं करना पड़ता, इसलिए कभी शून्य से भाग की समस्या नहीं आती और यह दशमलव संख्याओं के साथ भी साफ़-साफ़ काम करता है।
क्या क्रम मायने रखता है? हाँ। अनुपात \(2:3\), अनुपात \(3:2\) के समान नहीं है, इसलिए तुलना करते समय अपने पदों को सही क्रम में ही रखें।
