동치비란 무엇인가요?
두 비율이 동치(equivalent)라는 것은, 사용된 숫자는 달라도 두 양 사이의 관계가 동일하다는 뜻입니다. 예를 들어 2:3은 4:6, 8:12, 20:30과 모두 같은 비율인데, 두 항에 똑같은 수를 곱해서 얻어진 값이기 때문입니다. 이 계산기는 두 가지 일을 합니다. 첫째, 배율 \(k\)를 이용해 \(a:b\)로부터 동치비를 만들어 줍니다. 둘째, 주어진 두 비율 \(a:b\)와 \(c:d\)가 실제로 같은지 확인해 줍니다.
사용 방법
먼저 첫 번째 비율을 두 항 \(a\)와 \(b\)로 입력합니다. 그런 다음 배율 \(k\)를 입력하면 계산기가 \((a \cdot k):(b \cdot k)\)를 돌려줍니다. 두 비율이 같은지 확인하려면 \(c\)와 \(d\)도 입력하세요. 그러면 교차곱 \(a \cdot d\)와 \(b \cdot c\)를 비교해 두 비율이 일치하는지 알려 줍니다.
공식 풀이
동치비를 만들려면 두 항에 같은 수를 곱하면 됩니다. 즉 다음과 같습니다.
$$\text{a} : \text{b} = \left(\text{a} \times \text{k}\right) : \left(\text{b} \times \text{k}\right)$$양쪽이 동일한 배수만큼 커지기 때문에 비율은 그대로 유지됩니다. 두 비율이 같은지 검사할 때는 교차곱셈을 사용합니다.
$$\text{a} : \text{b} = \text{c} : \text{d} \iff \text{a} \times \text{d} = \text{b} \times \text{c}$$두 교차곱이 같으면 두 비율은 동치이고, 다르면 서로 다른 비율입니다.
예제로 살펴보기
2:3에서 시작해 배율 4를 적용해 봅시다. 곱하면 8:12가 되므로 2:3은 8:12와 동치입니다. 교차곱셈으로 확인해 보면 다음과 같습니다.
$$a \cdot d = 2 \cdot 12 = 24, \quad b \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$$두 교차곱이 같으므로 두 비율은 실제로 동치임이 확인됩니다.
자주 묻는 질문
배율이 소수나 분수여도 되나요? 네, 됩니다. 0이 아닌 수라면 무엇이든 가능합니다. 0.5를 쓰면 더 작은 동치비가 나오고, 1.5를 쓰면 더 큰 동치비가 나옵니다.
나눗셈 대신 교차곱셈을 쓰는 이유는 무엇인가요? 교차곱셈은 나눗셈을 피하기 때문에 0으로 나누는 문제가 생기지 않으며, 소수가 섞여 있어도 깔끔하게 계산됩니다.
순서가 중요한가요? 네, 중요합니다. 2:3과 3:2는 같은 비율이 아니므로, 비교할 때는 항의 순서를 정확히 맞춰야 합니다.
