기하평균이란?
기하평균은 데이터에 포함된 모든 수를 곱한 뒤, 값의 개수 n을 사용해 그 곱의 n제곱근을 구하는 평균입니다. 값을 더하는 익숙한 산술평균과 달리, 기하평균은 곱셈에 기반합니다. 그래서 비율이나 백분율로 늘어나거나 줄어드는 대상 — 예를 들어 투자 수익률, 성장률, 비율, 지수 같은 값 — 에 가장 적합한 평균입니다.
계산기 사용법
입력란에 수를 쉼표나 공백으로 구분해 입력하세요(예: 2, 8, 32). 모든 값은 양수여야 합니다. 값 중 하나라도 0이거나 음수이면 기하평균은 정의되지 않습니다. 계산 버튼을 누르면 기하평균과 함께 사용된 값의 개수가 표시됩니다.
공식 설명
기하평균은 다음과 같이 정의됩니다.
$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$
값이 많을 때도 수치적으로 안정적으로 계산하기 위해, 이 계산기는 로그 형태를 사용합니다. 즉, 모든 값의 자연로그를 합한 뒤 \(n\)으로 나누고, 그 결과를 지수로 환원합니다. 두 방식은 수학적으로 완전히 동일합니다.
예제로 살펴보기
예를 들어 2, 8, 32라는 수가 있다고 합시다. 이들의 곱은 $$2 \times 8 \times 32 = 512$$입니다. 값이 3개이므로 세제곱근을 구하면 $$512^{\frac{1}{3}} = 8$$이 됩니다. 따라서 기하평균은 8이며, 곱셈 관점에서 정확히 "가운데"에 위치한다는 점을 알 수 있습니다(\(2 \times 4 = 8\), \(8 \times 4 = 32\)).
자주 묻는 질문
산술평균 대신 기하평균을 언제 써야 하나요? 시간이 지나며 복리처럼 누적되는 수익률, 백분율 변화, 비율처럼 더하기보다 곱하기가 중요한 경우에 사용합니다.
0이나 음수를 포함할 수 있나요? 없습니다. 곱이 0이 되거나 제곱근이 정의되지 않기 때문에, 기하평균은 양수에만 적용됩니다.
기하평균은 항상 산술평균보다 작은가요? 그렇습니다. 모든 값이 같지 않은 양수 집합이라면, 기하평균은 산술평균보다 항상 작습니다(산술-기하 평균 부등식, AM–GM 부등식).
