등차수열이란?
등차수열은 이웃한 두 항의 차이가 항상 일정한 수열입니다. 이때 일정한 차이를 공차(\(d\))라고 부릅니다. 첫째항 \(a_1\)에서 시작하면 수열은 \(a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots\) 와 같이 이어집니다. 이렇게 나열된 항들을 모두 더한 값이 바로 등차급수입니다. 이 계산기는 어떤 등차수열에 대해서도 nth항과 누적 합을 한 번에 구해 줍니다.
계산기 사용 방법
첫째항(\(a_1\)), 공차(\(d\)), 그리고 더할 항의 개수(\(n\))를 입력하세요. 그러면 nth항의 값(\(a_n\))과 처음 \(n\)개 항을 모두 더한 합 \(S_n\)을 알려 줍니다. 공차는 양수, 음수, 0 모두 가능하며, 첫째항에는 어떤 실수든 넣을 수 있습니다.
공식 풀이
nth항은 첫째항에 공차를 \((n-1)\)번 더해서 구합니다. 즉 다음과 같습니다.
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
합을 구할 때는 가우스의 일화로 유명한 짝짓기 방법을 씁니다. 첫째항과 마지막 항, 둘째항과 끝에서 둘째 항을 차례로 짝지으면 각 쌍의 합은 모두 \((a_1 + a_n)\)이 됩니다. 이런 쌍이 \(n/2\)개 있으므로 합은 다음으로 정리됩니다.
$$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
예제로 익히기
\(a_1 = 3\), \(d = 5\), \(n = 10\)인 경우를 살펴봅시다. 10번째 항은 다음과 같습니다.
$$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$
처음 10개 항의 합은 다음과 같습니다.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\cdot(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$
즉 수열 \(3,\ 8,\ 13,\ \ldots,\ 48\)의 총합은 255입니다.
자주 묻는 질문
공차가 0이면 어떻게 되나요? 모든 항이 \(a_1\)과 같아집니다. 따라서 \(a_n = a_1\)이고, 합은 단순히 \(n \times a_1\)입니다.
항이 음수나 소수여도 되나요? 네, 됩니다. \(a_1\)과 \(d\)에는 어떤 실수든 넣을 수 있으며, 공식은 그대로 정확하게 성립합니다.
수열과 급수는 어떻게 다른가요? 수열은 순서대로 나열된 항들의 목록이고, 급수는 그 항들을 모두 더한 합을 뜻합니다.
