這個計算器的用途
拋體最大高度計算器能依據物體的初速與發射角,算出它被拋向空中後所能到達的最高垂直位置。不論是投出的球、踢出的足球、噴射的水柱,還是發射的彈丸,只要是在固定重力下、不施加額外動力的拋體運動都適用(計算時忽略空氣阻力)。
使用方式
輸入以公尺/秒(m/s)為單位的初速、以度為單位的發射角(自水平方向量起),以及重力加速度(地球預設為 9.81 m/s²;月球可用 1.62、火星可用 3.71)。計算器會回傳最大高度、發射速度的垂直分量,以及到達最高點所需的時間。
公式說明
最高點高度的公式為 $$H = \frac{\left(\text{Velocity} \cdot \sin\text{Angle}\right)^{2}}{2\,\text{g}}$$。只有垂直速度分量 \(v\cdot\sin\theta\) 會貢獻高度。在最高點時,垂直速度為零,因此運用運動學關係式 \(v_y^2 = \left(v\cdot\sin\theta\right)^2 - 2gH\),並令末速為零,即可直接求得 \(H\)。發射角為 90°(垂直向上)時最大高度最高,發射角為 0°(純水平)時最大高度為零。
實例演算
在地球上(g = 9.81)以 20 m/s、45° 拋出一顆球。垂直分量為 \(20 \times \sin(45°) = 14.142\) m/s。最大高度為 $$\frac{(14.142)^2}{2 \times 9.81} = \frac{200}{19.62} \approx 10.19 \text{ 公尺}$$,約在 1.44 秒後達到。
常見問題
有把空氣阻力算進去嗎?沒有。計算假設為真空中的理想拋體運動,對於密度高、速度慢的物體是相當好的近似,但對於輕巧又高速的物體則會高估高度。
哪個角度能達到最高高度?90°(垂直向上)發射能讓高度最大化;45° 發射則能讓水平射程最大化。
可以用英尺或英里/小時嗎?公式本身不限定單位,但速度與重力必須使用一致的單位。若採用 m/s 與 m/s²,算出的結果即以公尺為單位。