संयुक्त प्रायिकता क्या होती है?
संयुक्त प्रायिकता वह संभावना है जिसमें दो घटनाएँ एक साथ घटित होती हैं। जब दोनों घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं — यानी एक का परिणाम दूसरे पर कोई असर नहीं डालता — तो संयुक्त प्रायिकता उनकी अलग-अलग प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है। यह कैलकुलेटर इसी नियम का उपयोग करता है, जिसे इस तरह लिखा जाता है: \(P(A \text{ और } B) = P(A) \times P(B)\)।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
घटना A की प्रायिकता और घटना B की प्रायिकता दर्ज करें, दोनों को 0 और 1 के बीच के मान के रूप में (उदाहरण के लिए, 0.5 का मतलब है 50% संभावना)। "गणना करें" पर क्लिक करते ही आपको संयुक्त प्रायिकता दशमलव और प्रतिशत दोनों रूपों में दिखाई देगी। अगर आपके पास सिर्फ़ प्रतिशत हैं, तो पहले उन्हें 100 से भाग दें — 25% बन जाएगा 0.25।
सूत्र की पूरी समझ
स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम लागू होता है:
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$चूँकि हर प्रायिकता अधिक से अधिक 1 होती है, इसलिए संयुक्त प्रायिकता हमेशा किसी भी एक इनपुट से कम या उसके बराबर ही रहती है — दो शर्तों को पूरा करना एक शर्त की तुलना में कठिन होता है। ध्यान रहे, यह सूत्र तभी सही है जब घटनाएँ स्वतंत्र हों; अगर घटनाएँ एक-दूसरे को प्रभावित करती हैं तो आपको सशर्त रूप \(P(A) \times P(B|A)\) का उपयोग करना होगा।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आप एक निष्पक्ष सिक्का उछालते हैं और एक निष्पक्ष छह-फलकीय पासा फेंकते हैं। चित (heads) आने की संभावना \(P(A) = 0.5\) है और 3 आने की संभावना \(P(B) = 1/6 \approx 0.1667\) है। चित और 3 दोनों एक साथ आने की संयुक्त प्रायिकता है
$$0.5 \times 0.1667 = 0.0833$$यानी लगभग 8.33% संभावना।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर घटनाएँ स्वतंत्र न हों तो क्या होगा? तब यह सीधा गुणन गलत होगा; इसके बजाय \(P(A \text{ और } B) = P(A) \times P(B|A)\) का उपयोग करें, जहाँ \(P(B|A)\) घटना A के घटित होने पर B की सशर्त प्रायिकता है।
क्या इनपुट प्रतिशत में दिए जा सकते हैं? पहले उन्हें दशमलव में बदल लें (50% → 0.5)। कैलकुलेटर 0 से 1 के बीच के मान की अपेक्षा करता है।
परिणाम हर इनपुट से छोटा क्यों आता है? दोनों घटनाओं का एक साथ घटित होना ज़्यादा सीमित शर्त है, इसलिए जितनी अधिक शर्तें जुड़ती हैं, संयुक्त संभावना उतनी ही शून्य की ओर घटती जाती है।
