이 계산기의 기능
이 도구는 고전 역학에서 자주 쓰이는 등가속도 운동 공식 \(s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}\)를 풀어 줍니다. 여기서 s는 변위, u는 초기 속도, a는 가속도, t는 시간을 뜻합니다. 네 가지 값 중 구하고 싶은 것을 선택하고 나머지 세 값을 입력하면, 계산기가 미지의 값을 돌려줍니다. 입력값은 계산 전에 모두 SI 단위(미터, m/s, m/s², 초)로 변환된 뒤 처리되고, 결과는 다시 사용자가 선택한 단위로 환산되므로 일관성 있는 어떤 단위 조합으로도 사용할 수 있습니다.
사용 방법
먼저 "구할 값" 메뉴에서 풀고자 하는 변수를 고릅니다. 이미 알고 있는 세 값을 입력하고, 각 값의 단위를 드롭다운에서 선택하세요. 필요하면 결과에 표시할 유효숫자 자릿수도 설정할 수 있습니다(내부 계산은 항상 최대 정밀도로 진행됩니다). 계산 버튼을 누르면 선택한 출력 단위로 결과가 나타납니다.
공식 풀이
기본 공식은 일정한 가속도를 적분해 얻어집니다.
$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$$이를 정리하면 다른 경우도 구할 수 있습니다. 즉
$$u = \frac{s - \tfrac{1}{2}at^{2}}{t}$$$$a = \frac{2(s - ut)}{t^{2}}$$가 되고, 시간을 구할 때는 이차방정식 \(\tfrac{1}{2}at^{2} + ut - s = 0\)이 되어 그 해는
$$t = \frac{-u + \sqrt{u^{2} + 2as}}{a}$$입니다. u나 a를 구하려면 \(t \ne 0\)이어야 하며, \(a = 0\)인 상태에서 t를 구하면 식은 \(t = s / u\)로 단순해집니다.
계산 예시
\(u = 10 \text{ m/s}\), \(a = 2 \text{ m/s}^{2}\), \(t = 5 \text{ s}\)일 때 변위는
$$s = 10 \times 5 + 0.5 \times 2 \times 5^{2} = 50 + 25 = \mathbf{75 \text{ m}}$$입니다. 반대로 \(s = 75 \text{ m}\), \(u = 10\), \(a = 2\)에서 시간을 구하면 판별식이 \(100 + 300 = 400\), \(\sqrt{400} = 20\)이므로
$$t = \frac{-10 + 20}{2} = \mathbf{5 \text{ s}}$$가 됩니다(음의 해 \(-15 \text{ s}\)는 버립니다).
자주 묻는 질문
음수 값도 입력할 수 있나요? 네. 음의 가속도는 감속을 나타내며, 방향에 따라 변위나 속도도 음수가 될 수 있습니다.
시간이 두 개 나올 때가 있는 이유는 무엇인가요? 시간을 구하는 식은 이차방정식이라, 물체가 같은 위치를 두 번 지날 수 있기 때문입니다(예: 나갔다가 되돌아오는 경우). 계산기는 더 작은 음이 아닌 해를 보여 주고, 또 다른 유효한 해도 함께 알려 줍니다.
"실수 해 없음" 메시지가 뜨면 어떻게 되나요? 시간을 구할 때 판별식 \(u^{2} + 2as\)가 음수가 될 수 있는데, 이는 주어진 운동 조건에서 물체가 그 변위에 결코 도달하지 못한다는 뜻입니다.
