슈바르츠실트 반지름이란?
슈바르츠실트 반지름은 회전하지 않고 전하를 띠지 않는 블랙홀에서 사건의 지평선이 가지는 반지름입니다. 어떤 물체를 이 반지름보다 작은 크기로 압축하면 탈출 속도가 빛의 속도를 넘어서게 되고, 그 물체는 블랙홀이 됩니다. 이 개념은 1916년 아인슈타인의 일반 상대성 이론 장방정식에서 해를 유도해 낸 물리학자 카를 슈바르츠실트의 이름을 따서 붙여졌습니다.
계산기 사용 방법
물체의 질량을 킬로그램(kg) 단위로 입력하거나, 지구나 태양 같은 미리 설정된 항목을 고르기만 하면 됩니다. 그러면 계산기가 슈바르츠실트 반지름을 미터와 킬로미터 두 단위로 함께 보여줍니다. 천체의 질량은 매우 큰 경우가 많으므로 1.989e30처럼 과학적 표기법(지수 표기)도 입력할 수 있습니다.
공식 풀이
반지름은 다음 공식으로 구합니다.
$$r_s = \frac{2\,G\,M}{c^{2}}$$
여기서 \(G\)는 만유인력 상수(\(6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}\)), \(M\)은 킬로그램 단위의 질량, \(c\)는 빛의 속도(\(299{,}792{,}458\ \text{m/s}\))입니다. \(c^2\)의 값이 워낙 거대하기 때문에, 질량이 천문학적인 수준이 아니라면 계산된 반지름은 극도로 작게 나옵니다.
계산 예시
태양의 경우 \(M = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}\)입니다. 이를 대입하면 $$r_s = \frac{2 \times 6.674\text{e-}11 \times 1.989\text{e}30}{(299{,}792{,}458)^2} \approx 2.954 \times 10^{3}\ \text{m}$$ 즉 약 2.95 km가 됩니다. 다시 말해 태양이 블랙홀로 붕괴한다면, 그 사건의 지평선 반지름은 대략 3킬로미터 정도가 됩니다.
자주 묻는 질문
모든 물체가 슈바르츠실트 반지름을 가지나요? 수학적으로는 그렇습니다. 심지어 사람의 몸도 슈바르츠실트 반지름(약 \(10^{-25}\ \text{m}\))을 가지고 있습니다. 다만 그 값이 물체 자체의 크기보다 훨씬 작기 때문에 블랙홀이 형성되지는 않습니다.
지구의 슈바르츠실트 반지름은 얼마인가요? 약 8.87밀리미터입니다. 지구가 블랙홀이 되려면 구슬만 한 크기로 압축되어야 한다는 뜻입니다.
회전도 고려한 값인가요? 아닙니다. 이 계산기는 회전하지 않는 단순한 슈바르츠실트 해를 사용합니다. 회전하는 블랙홀은 이보다 훨씬 복잡한 커(Kerr) 계량을 사용해야 합니다.
