ما هي حاسبة أضلاع النسبة الذهبية؟
تقسِّم هذه الأداة خطًّا أو مستطيلًا وفق النسبة الذهبية (المعروفة أيضًا بالقطاع الذهبي). والنسبة الذهبية، التي يُرمَز إليها بالحرف اليوناني فاي، هي الثابت $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887$$. يُقسَّم الطول إلى ضلع قصير a وضلع طويل b بحيث تكون نسبة الجزء الطويل إلى القصير مساوية لنسبة الكل إلى الجزء الطويل. وبالرموز: \(b / a = (a + b) / b = \varphi\). هذه الحاسبة لا تتقيّد بوحدة معيّنة، فبإمكانك إدخال بكسلات أو مليمترات أو بوصات أو أي وحدة متسقة، وستظهر جميع النتائج بالوحدة نفسها.
طريقة الاستخدام
اختر الطول الذي تعرفه مسبقًا — الضلع القصير a، أو الضلع الطويل b، أو الطول الكلي a+b — ثم أدخِل قيمته. تُعيد الحاسبة الأطوال الثلاثة جميعها مع قيمة \(\varphi\) المستخدَمة. وبما أن كل ناتج ما هو إلا حاصل ضرب المُدخَل أو قسمته على \(\varphi\)، فإن النتائج تتغيّر تغيُّرًا خطيًّا ولا تحتاج إلى أي تحويل للوحدات.
شرح المعادلة
تتبع الأطوال الثلاثة التناسب \(a : b : (a+b) = 1 : \varphi : \varphi^2\)، حيث \(\varphi^2 = \varphi + 1\). فإذا عرفت الضلع القصير a، فإن \(b = a\cdot\varphi\) و \(a+b = a\cdot(\varphi+1)\). وإذا عرفت الضلع الطويل b، فإن \(a = b / \varphi\) و \(a+b = b\cdot\varphi\). وإذا عرفت الطول الكلي a+b، فإن \(b = (a+b) / \varphi\) و \(a = (a+b) / \varphi^2\). ومن المتطابقات المفيدة هنا: \(1/\varphi = \varphi - 1 \approx 0.6180339887\).
مثال محلول
لنفترض أن الطول الكلي a+b = 10. عندئذ يكون \(b = 10 / \varphi \approx 6.18034\) و \(a = 10 / \varphi^2 \approx 3.81966\). وللتحقق: $$a + b = 3.81966 + 6.18034 = 10$$ و \(b / a \approx 1.61803 = \varphi\). أي أن مستطيلًا ذهبيًّا طوله 10 وحدات يُقسَّم إلى جزء قصير مقداره 3.81966 وجزء طويل مقداره 6.18034.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يكون للمُدخَل وحدة؟ لا. استخدم أي وحدة تشاء؛ فكل ناتج يظهر بالوحدة نفسها لأن العلاقات تناسبية بحتة.
لماذا يجب أن يكون الضلع أكبر من الصفر؟ الطول الصفري ينتج عنه أصفار في كل النتائج، والطول السالب لا معنى هندسي له، ولذلك تُرفَض المُدخَلات غير الموجبة.
فيمَ تُستخدم \(\varphi^2\)؟ \(\varphi^2 = \varphi + 1\) هي نسبة الكل إلى الضلع القصير، ولذلك فإن قسمة الكل على \(\varphi^2\) تعطيك الضلع القصير مباشرةً.
