债券凸性计算器

债券价格	925.61
总期数	20

什么是债券凸性？

凸性（Convexity）衡量的是债券价格与收益率之间关系的曲率。久期（Duration）只能给出价格随收益率变动的一阶（线性）近似，而凸性则补上了至关重要的二阶修正。凸性越高的债券，在利率上行时价格越抗跌，在利率下行时价格涨得越多——这对固定收益类投资者来说是非常理想的特性。本计算器可同时算出债券的合理价格和年化凸性。

弯曲的价格-收益率曲线与笔直的久期直线对比 — 凸性衡量价格-收益率关系的曲率，这是单凭久期所无法捕捉的。

如何使用本计算器

请依次填入债券的面值（票面价值）、年票面利率、到期收益率、距到期年数，以及每年付息的次数。工具会对每一笔现金流进行折现，将凸性加权项求和，并以「年²」为单位给出凸性结果。同时，它还会顺带算出债券的现值（即价格），方便你参考。

公式详解

对于第 $t$ 期，现金流 $CF_t$（票息，到期时再加上面值）需乘以 $t(t+1)$，再用 $(1+y)^{t}$ 进行折现，其中 $y$ 为单期收益率。将所有项求和后，再除以「价格 $\times (1+y)^{2}$」。由于上述计算是按单期进行的，因此最后要除以付息频率的平方 $m^{2}$，才能把凸性换算成以年为单位。

$$C = \frac{1}{P\,(1+y)^{2}} \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t \cdot t\,(t+1)}{(1+y)^{t}} \cdot \frac{1}{k^{2}}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} k &= \text{Payments / Year} \\ y &= \dfrac{\text{YTM (\%)}/100}{k} \\ n &= \text{Years} \times k \\ CF_t &= \dfrac{\text{Face} \times \text{Coupon (\%)}/100}{k} \;(+\,\text{Face}\text{ if }t=n) \\ P &= \sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+y)^{t}} \end{aligned} \right.$$

贴现至现值的债券现金流时间轴 — 每笔现金流按t(t+1)加权并贴现，再求和得出凸性。

实例演算

假设有一只面值 $1,000 的债券，年票面利率 5%、每年付息一次，到期收益率 8%，距到期 2 年。现金流为：第 1 年 $50，第 2 年 $1,050。价格 $= 50/1.08 + 1050/1.08^{2} \approx \$946.50$。凸性求和项 $= 50\cdot 1\cdot 2/1.08 + 1050\cdot 2\cdot 3/1.08^{2} = 92.59 + 5401.23 = 5493.82$。凸性 $$= \frac{5493.82}{946.50 \times 1.08^{2}} \approx 4.98 \text{ 年}^{2}.$$

解读您的凸性结果

凸性衡量的是债券价格与收益率关系的曲率——当收益率变化时，债券的修正久期本身如何变化。它是价格相对于收益率的泰勒展开式中的二阶项，它细化了仅由久期提供的直线估计。

综合价格变化近似公式为：

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2}\, C \cdot (\Delta y)^2$$

其中 $D$ 是修正久期，$C$ 是凸性，$\Delta y$ 是收益率的变化（以十进制形式表示）。第一项是线性久期估计；第二项对于无期权债券总是正的（因为 $C>0$ 且 $(\Delta y)^2 \ge 0$），因此当收益率下降时它会增加价格，当收益率上升时它会缓解损失。

较高凸性与较低凸性。一个较高的凸性数值意味着价格与收益率曲线更加明显地弯曲：相比仅用久期预测，当收益率下降时债券获得的收益更多，当收益率上升时损失的更少。这种不对称性对债券持有者通常是有利的。较低的凸性意味着价格表现得更像一条直线——久期估计更接近精确值，二阶效益较小。

什么会增加凸性？在其他条件不变的情况下，凸性随较长的到期期限而增加（现金流分散得更开，折现更多），随较低的息票率而增加（更大比例的价值出现在遥远的最终支付中——零息债券在同样到期期限内具有最高凸性），以及随较低的收益率而增加。它随较高的息票率和较短的期限而下降。

计算示例。−6.68%——大致比仅用久期估计的−7.00%要轻0.33个百分点。

本说明反映了标准的固定收益理论，仅供教育目的，不构成投资建议。

关键术语与变量

面值（票面价值）: 债券到期时偿还给债券持有者的本金，以及用于计算息票的基数。在公式中记为 face；$1{,}000$ 是常见的约定。
息票率: 债券上所述的年利率，应用于面值以确定总年度息票。字段 coupon，以百分比形式输入。
到期收益率（YTM）: 使所有未来现金流的现值等于债券价格的单一年度折现率——如果债券持有至到期，这是债券的内部收益率。字段 yield，以百分比形式输入。
周期收益率 ($y$): 每个支付周期的收益率：$y = \dfrac{\text{到期收益率}/100}{k}$。凸性求和中的所有折现都使用这个周期利率。
每年支付次数 ($k$): 复利/息票频率：1（年度），2（半年度），4（季度），或12（月度）。它将年度数字转换为周期数字，并设置总周期数 $n = \text{年数}\times k$。
现金流 ($CF_t$): 第 $t$ 期收到的支付：每个周期的周期息票 $\dfrac{\text{面值}\times\text{息票率}/100}{k}$，加上在最后一期 $t=n$ 返还的面值。
久期: 价格对收益率的一阶（线性）敏感度——大约是收到现金流的加权平均时间，以年为单位。它给出了价格变化的直线估计。
凸性: 二阶敏感度——价格与收益率关系的曲率。它纠正了久期的直线估计，特别是对于较大的收益率变化。
凸性单位（年²）: 因为凸性是价格相对于收益率的二阶导数（按价格缩放），其天然单位是时间的平方，常规表示为年²。它用于价格变化公式中的 $\tfrac{1}{2}C(\Delta y)^2$ 项。