債券凸性計算器｜價格與凸性試算

債券價格	925.61
總期數	20

什麼是債券凸性？

凸性（Convexity）衡量的是債券價格與殖利率之間關係的「彎曲程度」。存續期間（Duration）只能提供價格隨殖利率變動的一階（線性）估計，而凸性則補上了關鍵的二階修正。凸性愈高的債券，在利率上升時跌幅較小，利率下跌時漲幅又更大——對固定收益投資人來說，是相當理想的特性。本計算器同時為您算出債券的合理價格與年化凸性。

彎曲的價格-殖利率曲線與筆直的存續期間直線對比 — 凸性衡量價格-殖利率關係的曲率，這是單憑存續期間無法捕捉的。

計算器使用方式

請輸入債券的面額（票面金額）、年票面利率、到期殖利率、距到期的年數，以及每年付息次數。工具會將每一筆現金流折現、加總凸性加權後的各項，並以「年²」為單位回報凸性，同時順帶顯示債券的現值（價格）。

公式說明

對每一期 $t$，現金流 $CF_t$（票息，加上到期時的面額）會乘上 $t(t+1)$，再以 $(1+y)^{t}$ 折現，其中 $y$ 為每期殖利率。將此總和除以價格乘上 $(1+y)^2$。由於計算是以「期」為單位進行，因此再除以付息頻率的平方 $m^2$，把凸性換算為以「年」表示。

$$C = \frac{1}{P\,(1+y)^{2}} \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t \cdot t\,(t+1)}{(1+y)^{t}} \cdot \frac{1}{k^{2}}$$

貼現至現值的債券現金流時間軸 — 每筆現金流按t(t+1)加權並貼現，再加總得出凸性。

實際範例

假設有一檔面額 $1,000 的債券，年票面利率 5%、每年付息一次、殖利率 8%、距到期 2 年。現金流為：第 1 年 $50、第 2 年 $1,050。價格 $$P = \frac{50}{1.08} + \frac{1050}{1.08^{2}} \approx \$946.50$$ 凸性總和 $$\frac{50 \cdot 1 \cdot 2}{1.08} + \frac{1050 \cdot 2 \cdot 3}{1.08^{2}} = 92.59 + 5401.23 = 5493.82$$ 凸性 $$C = \frac{5493.82}{946.50 \times 1.08^{2}} \approx 4.98 \text{ 年}^{2}$$

解釋您的凸性結果

凸性衡量債券價格-收益率關係的曲率 — 當收益率變動時，債券的修正久期本身如何變化。它是價格相對於收益率的泰勒展開式中的二階項，完善了單靠久期提供的直線估計。

組合的價格變化近似值為：

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2}\, C \cdot (\Delta y)^2$$

其中 $D$ 是修正久期，$C$ 是凸性，$\Delta y$ 是收益率變化（以小數形式）。第一項是線性久期估計；第二項對於無期權債券總是正的（因為 $C>0$ 且 $(\Delta y)^2 \ge 0$），因此當收益率下降時它會增加價格，當收益率上升時會減輕損失。

較高與較低凸性。 較高的凸性數字意味著價格-收益率曲線的彎曲度更大：當收益率下降時債券的收益更多，當收益率上升時損失更少，超過久期單獨預測的幅度。這種不對稱性對債券持有人通常是有利的。較低的凸性意味著價格表現得更像直線 — 久期估計更加準確，二階收益較小。

什麼會提高凸性？ 在其他條件相同的情況下，凸性隨著更長的到期時間而增加（現金流分散得更遠並折現更多），隨著較低的票面利率（價值的更大份額位於遠期最終支付 — 零息債券對其到期時間具有最高凸性），以及隨著較低的收益率而增加。它隨著較高的票面利率和較短的期限而減少。

實際例子。 假設債券的修正久期 $D = 7.0$ 年，凸性 $C = 65$ 年²，收益率上升 $\Delta y = 0.01$（100 個基點）。估計的價格變化為 $-7.0(0.01) + \tfrac{1}{2}(65)(0.01)^2 = -0.070 + 0.00325 = -0.06675$，或約 −6.68% — 大約比 −7.00% 的久期單獨估計嚴重 0.33 個百分點。

本說明反映了標準的固定收益理論，僅供教育目的；它不是投資建議。

關鍵術語與變數

面值（票面價值）: 在到期時償還給債券持有人的本金金額，也是計算票面利率的基礎。在公式中為 face；1,000 是常見的約定。
票面利率: 債券上規定的年利率，適用於面值以確定總年度票面利率。欄位 coupon，以百分比輸入。
到期收益率（YTM）: 等同於所有未來現金流現值與債券價格的單一年度折現率 — 如果持有至到期的債券的內部收益率。欄位 yield，以百分比輸入。
週期收益率 ($y$): 每個支付期間的收益率：$y = \dfrac{\text{YTM}/100}{k}$。凸性總和中的所有折現都使用此週期利率。
每年支付次數 ($k$): 複利/票面利率頻率：1（年度）、2（半年）、4（季度）或 12（月度）。它將年度數字轉換為週期數字，並設置總週期數 $n = \text{年數}\times k$。
現金流 ($CF_t$): 在週期 $t$ 中收到的支付：每個週期的週期票面利率 $\dfrac{\text{face}\times\text{coupon}/100}{k}$，加上在最後週期 $t=n$ 中返回的面值。
久期: 價格對收益率的一階（線性）敏感性 — 大約收到現金流的加權平均時間，以年為單位測量。它給出了價格變化的直線估計。
凸性: 二階敏感性 — 價格-收益率關係的曲率。它校正久期的直線估計，特別是對於大的收益率變動。
凸性單位（年²）: 因為凸性是價格相對於收益率的二階導數（按價格縮放），其自然單位是時間平方，習慣上以年² 表示。它用於價格變化公式的 $\tfrac{1}{2}C(\Delta y)^2$ 項。