期首払い年金とは？
期首払い年金（annuity due）とは、各期の期首に同額を支払う一連のキャッシュフローのことです。期末に支払う一般的な年金（普通年金）とは支払いのタイミングが異なります。家賃やリース料、多くの保険料などがこの仕組みに当てはまります。各支払いが普通年金より1期分早く発生するため、すべての支払いが1期分だけ多く利息を稼ぐ（または割り引かれる）ことになります。この計算ツールでは、期首払い年金の将来価値（FV）と現在価値（PV）の両方を算出できます。利率と期間数の期間の長さを揃えてさえいれば、どの通貨でも、どの複利計算頻度でも利用できる汎用的なツールです。
使い方
各期に支払う金額（PMT）、1期あたりの利率（％）、そして期間の総数（\(n\)）を入力してください。たとえば毎月の支払いで年利が6％の場合は、1か月あたり0.5％と、月数を入力します。計算ツールは、将来価値・現在価値・支払総額・得られた利息を表示します。
計算式の解説
期首払い年金の計算式は、普通年金の計算式に、1期早いタイミングを反映する \((1 + r)\) を掛けただけのシンプルなものです。
$$FV = \text{PMT} \cdot \frac{(1+r)^{n}-1}{r} \cdot (1+r)$$
$$PV = \text{PMT} \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} \cdot (1+r)$$
ここで \(r\) は1期あたりの利率（年利 ÷ 年間の期数）、\(n\) は支払いの総回数です。
計算例
毎年の初めに1,000ドルを10年間にわたって積み立て、年利5％で運用するとしましょう。\(r = 0.05\)、\(n = 10\) とすると、$$FV = 1000 \times \frac{1.05^{10} - 1}{0.05} \times 1.05 \approx 13{,}206.79\ \text{ドル}$$となります。支払総額は10,000ドルなので、得られた利息は約3,206.79ドルです。また、この同じキャッシュフローの現在価値は約8,107.82ドルになります。
よくある質問
期首払い年金と普通年金は何が違うのですか？ 支払いが各期の期末ではなく期首に行われるため、各支払いが1期分多く利息を稼ぎます。その結果、FVもPVも \((1 + r)\) 倍だけ大きくなります。
どの利率を入力すればよいですか？ 1期あたりの利率を使ってください。たとえば年利12％で毎月支払う場合は、1（=1か月あたり1％）を入力し、期間数には月数を設定します。
利率が0％の場合はどうなりますか？ その場合、運用益も割引もないため、FVもPVもどちらも単純に \(\text{PMT} \times n\) と等しくなります。
